2024年九年级数学中考复习 “类比探究+旋转缩放”问题讲义

“类比探究+旋转缩放”问题 类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式． 类比探究型问题在几何综合题中出现的频率越来越高。下面总结一下解题的基本思路： 1、解题策略： ①类比——类比字母、辅助线、思路 ②不变特征——相同或相似的性质（可类比的关键） ③应用——类比思路、应用结论 ④作图——关注待确定点的特征及轨迹，尝试分析转化 2、类比探究常见结构： ①旋转结构：找“等线段共端点”，借助全等整合条件 ②直角结构：斜直角放正，找全等或相似 ③平行结构：作平行，造相似，转比例（A 型、X 型） ④中点结构：构造全等或中位线，转移、整合条件 3、解题策略：（1）要找准变化过程中保持不变的量和关系，如全等、相似、相等、垂直等，一般第一问就是指引，后面的题目无论图形如何变，类比第一问找相应字母，就能找到保持不变的关系，解决方法类同。 （2）旋转缩放是由旋转全等演变而来，熟练掌握以下基本图形及结论。△OAM∽△OBN 　　 O 　　 D 　　 A 　　 B 　　 C 　　 M 　　 N 　　 △OAC∽△OBD 　　 O 　　 D 　　 A 　　 B 　　 C 　　 O 　　 D’ 　　 A 　　 B 　　 C　　 C’ 　　 D 　　 △OBA∽△OC’D’ 　　 O 　　 A’　　 A 　　 B’　　 B　　 旋转全等 　　 A 　　 D 　　 C 　　 B 　　 O 　　 M 　　 E 　　 4、举例说明： 例1、（1）问题发现：如图，在△OBA和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD， ∠AOB＝∠COD=40°，连接AC、BD交于点M，填空： ①AC：BD＝　　　　　；②∠AMB的度数为　　　　　。 略解：由题意易得△OCA≌△ODBAC＝BDAC：BD＝１：１. 由△OCA≌△ODB∠OAC＝∠OBD∠AMB＝∠BOE＝４０°。 也可将△OCA看作由△ODB旋转得到，则对应边夹角等于旋转角４０°。 （２）类比探究：如图，在△OBA和△OCD中，∠AOB＝∠COD=９0°，∠OAB＝∠OCD=３0°，连接AC交BD延长线于点M，请判断：AC：BD的值和∠AMB的度数，并说明理由。A 　　 BB 　　 C 　　 D 　　 M 　　 O 　　 略解：由基本图形不难判断△OAC∽△OBDAC：BD＝OA：OB＝。 类比（１） 知，∠AMB＝∠AOB＝９０°。 （2）拓展延伸：在（２）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，直接写出当点C与点M重合时AC 的长。 略解：如图，由(2)可知，在运动过程中∠AMB＝９０°，所以点M在以AB为直径的圆上；点C在以O为圆心，OC为半径的圆上。C、M重合即两圆相交，故有两种可能。 A 　　 BB 　　 C（M） 　　 D 　　 O 　　 A 　　 BB 　　 C（M） 　　 D 　　 O 　　 ①根据题意可知，此时C、B、D三点共线，由以上结果可知，AC＝BD，即BD＝AC；OD＝１CD＝２，OB＝AB＝；在直角三角形ACB中，由勾股定理可得：AC２＋BC２＝AB2, 即AC２＋（2+AC）２＝（）2，解得AC=。 （注：此问中得到的关系在整个变化过程中保持不变，始终成立） ②根据题意可知，此时C、B、D三点共线，由以上结果可知，AC＝BD，即BD＝AC；OD＝１CD＝２，OB＝AB＝；在直角三角形ACB中，由勾股定理可得：AC２＋BC２＝AB2, 即AC２＋（2-AC）２＝（）2，解得AC=。 例2、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A=α（0°<α<60°），将BC绕点B逆时针旋转６０°至BD. （１）求∠ABD的度数； （２）图２中，∠ABE=60°，∠BCE＝１５０°，判断△ABE的形状； （３）在（２）的条件下，∠DEC＝４５°，求α．图３ 　　 B 　　 C 　　 D 　　 A 　　 E 　　 图２ 　　 B 　　 C 　　 D 　　 A 　　 E 　　 图１ 　　 B 　　 C 　　 D 　　 A 　　 解：（1）易得∠ABD=（180°-α）÷2-60°=30°-。 （注：此问中得到的关系在整个变化过程中保持不变，始终成立） （2）如图，连接AD、CD，因∠ABE=∠DBC＝60°∠ABD＝∠EBC； AB=AC、AD＝AD、BD=CD△ABD≌△ACD∠ADB=∠ADC＝１５０°； ∴△ABD≌△EBCAB＝BE△ABE为等边三角形。 （３）由（２）知，∠BAD＝∠CAD=∠BEC＝，∠EBC=∠ABD=30°- ∠DCB＝６０°，∠BCE＝１５０°，∴∠DCE＝９０°；∵∠DEC=45°， ∴EC=DC=BC，