6.3.2二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2二项式系数的 性质 (二项式)系数和与系数的最值 二项式系数的性质 (1)二项式系数和为2”,即C+C+C^2+..+C”=2” (2)奇数项和偶数项的二项式系数和相等 即C+C2+C+..=C+C3+C...=2n-1 (3)与首末等距的两个二项式系数相等,即C*=C”*(k=0,1,2...,n) (a+b)2-a2+2ab+b2 (a+b)! ($a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b) _..-----------.-.--.. (a+b)4=a4+4a3b+10a2b2+4ab3+b4 (a+b); __---.》 (a+b)4 (ar........ 10 10 (a+b)6 观察与发现:杨辉三角(二项式系数表) (a+)”展开式的二项式系数 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 ①每行的两端都是1. $C=Cn=1 C+Cl1_C ②递推性:除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和 ③对称性:与首末两端等距的两个二项式系数相等.C=C-k ④增减性:先增后减,在中间项取得最大值 二项式系数的增减性与最值 #分}) f(r)=C 二项式系数C先增后减,关于k“对称 二项式系数C在中间项取得最大值 n是奇数时,中间两项的二项式系数C=C最大 n是偶数时,中间一项的二项式系数C{最大 如:(1+2x)的展开式共8项.二项式系数最大的是第4和5项 (2x-3v)1的展开式共11项,则二项式系数最大的是第6项. 第8项为中间项 共15项 例题点拨(2):各项系数的问题 通项为2^C-20-3. 记各项系数为a.=2*C# 析:C+C10+.+C20=20 (1)求二项式系数之和; (2)求奇数项的二式系数之和;析:C+C+△+C1=21 (3)求二项式系数最大的项 析:展开式共21项二项式系数最大的项为第11项 令=10得第11项为C10(Vx)10(2x2)10=1024C1×-15. (4)求各项系数之和: 令x=1,得a。++2++2o=320 (5)分别求所有奇数项和偶数项的系数之和 (6)求系数最大的项: 列题点拨2:各项系数的问题 [例2](x+-)2*的展开式中,求: x& 通项为2^°C-20-3< 记各项系数为=2*C。 则展开式为x20+x+x14+xl++-37+2o (4)求各项系数之和: 令x=1,得a。+++.$+d。=320 赋值法:可解 决系数和问题 (5)分别求所有奇数项和偶数项的系数之和 令x=-1,得(a+a+..+a)-(a+a+..+a)=1, X , [X-Y=1 由 X+Y=320 2 例题点拨(2):各项系数的问题 通项为2^*C220-3 记各项系数为a=2*C{。 (6)求系数最大的项:(法1:系数单调性→系数最大值) 系数=2*C的最大值a的增减性比较a与-1 析:令a>-1# 即2^C^。>2^-C,解得<14 :k=14时,=; 2x20! 20! k<14时,a>a-1' 即a递增; #!(20-k)!(k-1)!(21-k)! .k>14时,a<,即a递减; 即a。<<.<=>s>6>...>a2o#$ ·系数最大的项为第14项和第15项,T =213Cx,T.=214C-22 例题点拨(2):各项系数的问题 [例2](x+)*的展开式中,求: 记各项系数为a.=2C,k=01.2....20$$ (3)求系数最大的项;(法2:系数极大值→系数最大值) 20! 2x20! #2^7C# 乙+t1 >2^+1 Ck+1 > # 3,即 令 20 #k!(20-k)!(k+1)!(19- )!$ 即 2x20! 20! !(20-k)! (k-1)!(21-k)! +1>2(20-) [>13 即 ,解得 ·13<k<14. 2(21-)>k <14' .a。<<.<=>>..>2o :系数最大的项为第14项和第15项,T.=21C19/=2G-2 例题点拨(2):各项系数的问题 [变式](t-)20的展开式中,求: 通项为(-2)*C-20-3k 记各项系数为=(-2)*C^2 x2 (1)求系数绝对值最大的项 系数最大:正系数中的最大 析:=2*C,k=0,1,2.,20 系数最小:负系数中的最小 同上得k=13或14时,|a. 最大 共性 即系数绝对值最大的项为第14项和第15项 系数绝对值最大 (2)分别求系数最大和最小的项 析:·系数绝对值=.且最大 0,.>0. :系数a。最小,系数最大 第14项 第15项 小结:系数的求和与最值问题 1.二项式系数和: 27 2.奇/偶数项的二项式系数和 2”-1 3.各项系数和X+V: 令x=1 4.奇数项的系数和X: 令x--1 5.系数a(a.