6.3.1 二项式定理 课件 第一课时-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.1二项式定理 Q1:下面各式如何展开？展开且合并同类项后的各项及系数/次数是什么？ 展开方式：从每个(a+b)中选一个数a或b,相乘后得到一项 (a+b)2=(a+b)(a+b)=2+2ab+b2 CC C2 选0个b选1个b选2个b (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 选0个b选1个b选2个b选3个b (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 C?CCC Q2:你能否根据上述规律，写出(a+b)的展开式中的各项及其系数？ 展开方式：依次从每个(a+b)中选一个数a或b,相乘后得到一项 (a+b)n=(a+b)(a+b)…(a+b)(a+b) n个 Co an+Cnan-ib +Cian-2b2+Cian-33+.+Cm abn-1 +Cb (a+b)”=Ca”+Ca-b+Ca-2b2++Cmb 二项式定理：即(a+b)y"的展开式 (a+b)”=@”+C-b+Cab2+.+@31 (1展开式共n+I项，各项次数是n,各项系数是 C(0≤k≤m) (2)各项的统一表达式为 C所a-*b 这是展开式的第k+1项， (3)a的幂、b的幂的变化规律：a降幂(n→0)，b升幂0m) 二项式定理：即(a+b)y的展开式 (a+b)”=@”+C"Hb+@"-2b2++C□b"1+C (1)展开式共n+1项，各项次数为n. (2)各项规律：a降幂(n→0)；b升幂(0→n) (3)展开式的通项or第k+1项：T1=Ca”-*b(k=0,l,2,,n) (4)各项的二项式系数：C-0,1,2,…,n) 如：1+2x)的第4项的二项式系数是C6=20 二项式定理：即(a+b)y"的展开式 (a+b)”=C⑧”+C@2mb+C☒-2b2++Cb- (4)各项的二项式系数：C-0,1,2,,m) (⑤)与首末等距的两个二项式系数相等，即C=C*(k=0,12,.,n) 如：(2+x)”的第4项和第8项的二项式系数相等，则其展开式 的第8项为 析：即C=C7,n=10. (a+b)2=a2+2ab+b2 第8项为C323x7=960x. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+10a2b2+4ab3+b4 基础巩固：求二项式的展开式 (a+b)”=C%a"+Ca”-b+Ca”-2b2+.+Ca"-*b+.+Cb” [例求(x+)的展开式先写通项，再将0,1,2.…n代入k 解：(c+5=(K+x6,通项为Cgx6-x=Cgxs-2(k=0,15,6) (x+=Cx+Cx+Cix+C+Cx2+Cx+C6x =x6+6x4+15x2+20+15x2+6x4+x6 [变式]求(1-2x)的展开式 析：(1-2x)6=[1+(-2x)] C6(-2x)=C(-2)*x 基础巩固：求二项式的展开式 [变式2]求(3+)的展开式. 先写通项，再将0,1,2，..n代入k (法1)通项为C(3)4*(√)=C34x2*(k=0,1,2,3,4) .展开式为C034x2+C33x+C32+C33x1+C4x2 =81x2+108x+54+12x1+x2 法2)原式=(-+3奶 括号内先化简，再展开 1+3x)4的通项为C(3x)=C3*x(k=0,1,2,3,4) .展开式为r21+12x+54x2+108x3+81x4) =x2+12x1+54+108x+81x2 基础巩固：二项式定理 a降幂(n→0)，b升幂(0→n)） (a+b)”=C9a”+Ca"-b+C%ar-2b2+..+C%a-*b+..+Cb” [例2]化简下列各式 (01+2C+4C7+.+2"C=3" 1=1,b=3 析：原式=C%·2°+C2+C.22+.+C·2"=(1+2)”=3 (2)2”-C2+..+(-1)*C2"-*+..+(-1)”C=1 P35-10 析：原式=[2+(-1)]”=1=2，b=-1 =x-1,b=1 (3)x-)3+5(x-1)4+10(x-1)3+10x-1)2+5(x-1)=x-1 析：即C9(x-1)3+C(x-1)+C(x-1)3+C(-1)2+C(x-1)+C(x-1)°-1 =[(x-1)+1]5-1=x3-1 新知：二项式系数的性质 (a+b”=@”+@2b+C"-22+…+ )令a=b=L,得(a+b)"的二项式系数之和为2"， 即C0+C+C+.+C=2.只与n有关，与a,b无关， 如：C+C10+C%++C18=1024. (2)令a=1,b=-1,得奇数项和偶数项的二项式系数和相等， 即C%+Cg+C4+.=C+C+C%=2 0=C%-C+C2-C+.+(-1)-C+(-1)CW X=Y X+Y=