专题8.2 一元线性回归模型及其应用【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题8.2 一元线性回归模型及其应用【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 解释回归直线方程的意义】 1 【题型2 由散点图画求近似回归直线】 2 【题型3 残差的计算】 5 【题型4 刻画回归效果的方式】 6 【题型5 求回归直线方程】 7 【题型6 线性回归分析】 8 【题型7 非线性回归分析】 11 【知识点1 一元线性回归模型】 1．一元线性回归模型 把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称 为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 【题型1 解释回归直线方程的意义】 【例1】（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在线性回归方程中，为回归系数，下列关于的说法中不正确的是（    ） A．为回归直线的斜率 B．，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少 C．是唯一确定的值 D．回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）给出下列有关线性回归分析的四个命题： ①线性回归直线未必过样本数据点的中心； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于. 其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二·全国·单元测试）以下关于线性回归的判断，正确的个数是(　　) ①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线； ②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点； ③已知直线方程为，则时，的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）相关变量的样本数据如下表， x 1 2 3 4 5 6 7 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 a 5.9 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（    ） A．x增加1时，y一定增加2.3 B．变量x与y负相关 C．当y为6.3时，x一定是8 D．a=5.2 【题型2 由散点图画求近似回归直线】 【例2】（22-23高二下·福建福州·期末）某个国家某种病毒传播的中期感染人数y和天数x的散点图如图所示，下列最适宜作为感染人数y和天数x的经验回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二·全国·课时练习）如图是某地区2012年至2021年的空气污染天数Y（单位：天）与年份X的折线图．根据2012年至2016年的数据，2017年至2021年的数据，2012年至2021年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（22-23高二下·河南信阳·期末）如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·河南·阶段练习）变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 【知识点2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计】 1．线性经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+ (i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线 y=bx+a的“整体接近程度”. 当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方 程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二 乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计. 经验回归直线一定过点(,). 2．残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减 去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 3．刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.