2023-2024学年人教A版高一数学必修二6.2.4向量的数量积

人教A版高一数学必修2第二学期6.2.4向量的数量积 6.2.4　向量的数量积 6.2　平面向量的运算 1.数学抽象：理解平面向量夹角的定义，并会 求已知两个非零向量的夹角 2.直观想象：理解平面向量数量积的含义并会 数学抽象、计算 3.逻辑推理：理解a在b上的投影向量的概念 4.数学运算：掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 核心素养目标 教学目标 教学重点：数量积的定义，向量模和夹角的计算方法 教学难点：向量的数量积的几何意义 情境导入 1. 平面向量的模的定义 2. 平面向量的加减法运算法则，运算结果是什么？ 3. 平面向量的数乘运算规则及运算结果是什么？ 物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？ 如果有，你能把它描述出来吗？ θ 任务探究一 同向 垂直 反向 任务探究一 1. 什么是向量的夹角？当向量的夹角分别等于00和900时，两个平面向量的位置关系 如何？ （1）已知两个非零向量 ，O为平面上任意一点（如图所示），作 ， 则 A叫做 的夹角 （2）当 时， 同向；当 时，， 反向 （3）当 时， 垂直，即 任务探究一 2.怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？ 已知两个非零向量 他们的夹角为θ我们把数量 叫做 的数量积（或内积），记作： ，即 注意： 不能写成 或 的形式。 任务探究一 3. 在 方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？ （1） 叫作向量 方向上的射影。 注意：射影也是一个数量，不是向量。 （2）数量积的几何意义： 是 的模与 方向上的投影的乘积 ，也等于 的模与 方向上的投影的乘积， 与 方向上的投影是不同的 任务探究一 4.向量数量积的性质有哪些？ （1） 是单位向量， （2） （3） （4） （5） 任务探究一 5.向量数量积的运算律有哪些？ 已知向量 和实数λ，则： （1）.交换律： （2）.数乘结合律： （3）.分配律： 任务探究一 任务探究二 如图，一个物体在力F的作用下产生了位移s，其中力、位移分别是矢量还是标量？它们的夹角是什么？ 知识梳理　 两向量的夹角与垂直 定义 图示 范围 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 ＝ a， ＝b，则-------------＝θ叫做向量a与b的夹角 θ∈---------- OA OB 任务探究二 特殊情况 特殊情况 特殊情况 θ＝0 θ＝π θ＝ a与b------ a与b------ a与b --------- ，记作--------- 同向 同向 垂直 任务探究二 知识点二　向量的数量积力F所做的功应当怎样计算？决定功大小的量有哪几个？功是矢量还是标量？ [提示]　由物理知识容易得到W＝|F||s|cos θ，决定功的大小的量有力、位移及其夹角，其中功是标量． 知识梳理　两个非零向量的数量积 任务探究二 定义 记法 规定 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量叫做 ----------------- a与b的数量积(或内积) 记作a·b，即a·b＝--------------------- 零向量与任一向量的数量积均为----------------- 0 任务探究三 特别提醒　(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零． 任务探究三 知识点三　投影向量(1)如图，已知线段AB和直线l，过线段AB的两个端点A，B，分别作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到线段A1B1，那么线段A1B1叫做什么？ [提示]　线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段． (2)设直线AB与直线l的夹角为θ，那么|A1B1|与|AB|，θ之间有怎样的关系？ [提示]　|A1B1|＝|AB|cos θ.　 知识梳理　(1)如图，设a，b是两个非零向量，(AB)＝a，(CD)＝b，作如下变换：过 → →