2.4 课时1 空间直线的方向向量和平面的法向量 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4 空间向量在立体几何中的应用 1 课时1 空间直线的方向向量和平面的法向量 2 1.理解直线的方向向量和平面的法向量.（数学抽象、直观想象） 2.会用待定系数法求平面的法向量.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.如何用向量来确定一个点在空间的位置? [答案] 在空间中，取一定点作为原点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，称为点 的位置向量． 自主预习 4 2.对于平面上的直线，可以用平面向量刻画其方向．对于空间直线，是否也可用空间向量来刻画其方向? [答案] 如图，在直线上任取两个不同的点，，则有向线段 所 代表的向量就表示直线的方向，称为直线 的方向向量．自 然，也是直线 的方向向量． 3.如何用向量来确定一个平面的位置? [答案] 给定一点和一个向量，那么，过点，且以向量 为法向量的平面是完全确 定的． 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）零向量能作为直线的方向向量. ( ) × （2）直线的方向向量都是相等向量. ( ) × （3）直线的方向向量是不唯一的. ( ) √ （4）平面的法向量是唯一的. ( ) × 2.若，在直线上，则直线 的一个方向向量是( ) . A A. B. C. D. 自主预习 6 3.已知平面 过点，其法向量为，则下列点不在平面 内的是 ( ) . C A. B. C. D. [解析] 设平面 内的点，则 ,结合法向量的定义可得 ，即 . 若，，则，故点在平面 内； 若，，则，故点在平面 内； 若，，则，故点不在平面 内； 若，，则，故点在平面 内. 故选C. 自主预习 7 4.若，2，，，，，，1，是平面 内的三点，设平面 的法向 量，则 __________. [解析] 因为，，，，，，且， ， 所以解得 所以 . 自主预习 8 探究1 直线的方向向量 问题1： 直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？ [答案] 直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量． 问题2： 两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？ [答案] 相等或互补． 合作探究 9 问题3： 零向量可以是直线的方向向量吗? [答案] 不可以.直线的方向向量是用来描述空间直线的位置，而零向量的方向是任意的，因此，无法用零向量来描述空间直线的位置. 合作探究 10 新知生成 一般地，如果非零向量与直线平行，就称为 的方向向量． 已知空间直线上一个定点 以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间 直线的位置. 合作探究 11 新知运用 例1 如图所示，在空间直角坐标系中，四棱锥 的底面 是正方形， 平面，且，若点在 上，求下列直线的一个方向向量： （1）；（2） . [解析] 由题意得，， . （1）因为，且点在上， 所以 的一个方向向量为 . （2）因为， 所以 的一个方向向量为 ． 合作探究 12 1.一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；2.直线 的 方向向量也是所有与 平行的直线的方向向量．这个可由直线方向向量的定义和平行直 线的传递性推知． 合作探究 13 如图，在正三棱柱中，已知 的边长为2，三棱柱 的高为1,,的中点分别为,，以为坐标原点，分别以 , ,的方向为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系.求下 列直线的一个方向向量： （1）；（2） . [解析] 在等边中，,，所以，则, , . （1）因为,所以 . （2）因为，所以 . 合作探究 14 探究2 平面的法向量 如图，设两条直线相交于点，它们确定平面 ，对应的方向向量 分别为和， 为空间内任意一点. 问题1： 点在平面 内的充要条件是什么？ [答案] 存在唯一的有序实数组，使得 . 问题2： 若 ，试问与向量和 有什么关系？ [答案] ， . 合作探究 15 问题3： 什么是平面 的法向量？是平面 的法向量吗？ [答案] 若直线与平面 垂直，则直线的方向向量叫作平面 的法向量. 不一定是 平面 的法向量. 问题4： 如何选取平面的法向量？ [答案] 平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量,即只需作一条垂直于平面 的直线，再选取该直线的方向向量即可. 合作探究 16 新知生成 1.平面的法向量 如果非零向量所在直线与平面 垂直，那么称为平面 的一个法向量. 给定一点和一个向量，那么，过点且以向量 为法向量的平面是完全确定的. 合作探究 17 2.坐标平面的法向量的特征 （1）坐标平面的法向量与轴平行，故均可作为平面 的法向量，