5.5用二次函数解决问题(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年九年级下册数学高频易错重难点培优讲义（苏科版）

5.5用二次函数解决问题 板块一：知识精讲 1．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 2．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 3．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 板块二：典题精练 一、单选题 1．如图，在中，．动点D从点A出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点D与点B重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为x秒，正方形与重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（   ）． A． B． C． D． 3．如图所示，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕旋转180°得到，交轴于；将绕旋转180°得到，交轴于如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D． 4．将进货单价为元的某种商品按零售价元一个售出时，每天能卖出个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价元，其日销售量就增加个，则能获取的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（　　）    A．18° B．37° C．54° D．58° 6．抛物线与轴的交点坐标为（ ） A．(2, 2) B．(-2, 2) C．(0, 2) D．(2, 0) 7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从A点出发，沿A→B→C方向匀速运动，过点P作PQ∥BD交菱形的另一边于点Q，设点P的运动路程为x，△PCQ的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面上升，那么水面宽度为（　　）． A．2 B． C． D． 10．如图，滑雪爱好者小明在海拔约为121米的处乘雪橇沿的斜坡下滑至处所用的时间为2秒，已知下滑路程（米）与所用时间（秒）的关系为，则山脚处的海拔约为（其中）（    　　） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 11．如图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯，防滑螺母C为抛物线支架的最