5.4二次函数与一元二次方程(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年九年级下册数学高频易错重难点培优讲义（苏科版）

5.4二次函数与一元二次方程 板块一：知识精讲 1．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 3．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 4．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 板块二：典题精练 一、单选题 1．已知二次函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 2．抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．关于x的函数的图像与x轴有两个交点，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 4．如图，已知反比例函数与二次函数的图象交于点，则下列说法正确的是（    ） A．m的值为3 B．抛物线的对称轴位于直线x＝－2的右侧 C．若，则x<－3或x>0 D．当x>－3时，与均随x的增大而增大 5．现有6张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使得关于x的二次函数y=x2﹣2x+a﹣2与x轴有交点，且关于x的分式方程有解的概率为（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，有下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，抛物线yax2＋bx＋c（a＞0）与x轴交于A（，0）、B两点，与y轴交于点C，点（m，n）与点（3，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2＋bx＋c20有两个不相等的实数根；③a＋c＜0；④当xt2时，y＞c．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知二次函数的图象如下图所示，且关于的一元二次方程有实数根，有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（    ）．    A．0 B．1 C．2 D．3 9．由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是(    ) A． B． C． D． 10．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象与x轴只有一个交点 D．图象经过原点 二、填空题 11．如图，点A的坐标为，点B的坐标为 ，连接．若将绕点A逆时针旋转90°得到，点恰为抛物线的顶点，此抛物线与x轴相交于C，D两点，则线段的长为 ． 12．二次函数y=（x-1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为 ． 13．在平面直