5.3用待定系数法确定二次函数表达式(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年九年级下册数学高频易错重难点培优讲义（苏科版）

5.3用待定系数法确定二次函数表达式 板块一：知识精讲 1．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 2．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 板块二：典题精练 一、单选题 1．已知点在抛物线上，则此抛物线的解析式为（          ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C． D．2 3．已知一个二次函数的图象经过（-2，8），则下列点中在该函数的图象上的是（    ） A．（2，8）， B．（1，3） C．（-1，3） D．（2，6） 4．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（   ） A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1 5．已知二次函数的图象经过（1,3），（0,1）两点，则b，c的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（    ） A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6 7．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（    ） A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2 8．如图，抛物线的对称轴为直线，顶点为，且该抛物线与轴的交点为．若是该抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 9．如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C．28 D．32 二、填空题 10．一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是 ．（结果写成一般式） 11．请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 ． 12．写出一个关于的二次函数 ．使得当时，；当时，． 13．写出顶点坐标为（2，1），开口方向与抛物线y＝﹣x2的开口方向相反、形状相同的抛物线解析式为 ． 三、解答题 14．（1）已知二次函数的图象以为顶点，且过点．求二次函数的表达式． （2）如图，点A，D，B，C在上，．求证：．    15．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．点P和点Q都在抛物线上，其横坐标分别为m，，过点P作轴交直线于点M，过点Q作轴交直线于点N，连接．           （备用图） (1)求抛物线的解析式； (2)当P，Q两点都在第一象限时，求四边形的面积的最大值； (3)当P，Q，N，M以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值； (4)设此抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）的最大值为n，直接写出n关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围． 16．有这样一道题：“已知二次函数y=ax2+bx+c图象过P(1，－4)，且有c=－3a，……求证这个二次函数的图象必过定点A(－1，0).”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字. (1)你能根据题中信息求这个二次函数表