5.2二次函数的图像和性质(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年九年级下册数学高频易错重难点培优讲义（苏科版）

5.2二次函数的图像和性质 板块一：知识精讲 1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 3．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 4．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 5．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 板块二：典题精练 一、单选题 1．二次函数y＝a＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①4ac﹣＜0；②2a＋b＜0；③4a﹣2b＋c＝0；④a：b：c＝﹣1：2：3，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴的交点为、，其中，有下列结论：①；②；③；④当m为任意实数时，；⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①④⑤ 3．二次函数、、是常数的大致图象如图所示，抛物线交轴于点，．则下列说法中，正确的是（ ） A．abc>0 B．b-2a=0 C．3a+c>0 D．9a+6b+4c>0 4．如图，小明在画二次函数（a，b，c为常数）的图象过程中，在正确描出顶点P后，再依次描出点A，B，C，D．若其中只有一个点是描错误的，则描错误的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴（    ） A．只能是x＝－1 B．可能是y轴 C．在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D．在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧 6．若抛物线y＝x2－2x＋m的最低点的纵坐标为n，则m－n的值是（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 7．已知抛物线经过点和．下列结论：①；②；③当时，抛物线与轴必有一个交点在点的右侧；④抛物线的对称轴为． 其中结论正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，则下列说法正确的是（    ） ①抛