第1章导数及其应用章末小结课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 第1章章末小结 1 知识导图 2 题型1 导数的运算问题 例1 求下列函数的导数. （1） ； （2） ； （3） . 方法指导 利用导数公式、导数的四则运算以及复合函数的求导法则求解即可. 题型探究 3 [解析] （1） ， . （2） ， . （3） . 题型探究 4 小结 函数求导时要注意：（1）求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行 化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度；（2）复合函数的求导，要正 确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导. 题型探究 5 题型2 导数的几何意义 例2 （1）（2021年全国甲卷）曲线在点 处的切线方程为___________ ____. （2）（2022年新高考全国Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的 取值范围是___________________. 题型探究 6 [解析] （1）当时，，故点 在曲线上.又 ，所以当时，，故切线方程为 . （2）设切点为，则切线的斜率为 ,可得切线方 程为 .又切线过原点，可得 ，化简得 又切线有两条，所以方程有两个不相等的实根，则判别式 ，得 或 . 题型探究 7 小结 导数几何意义的应用主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求 切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的 切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过 某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 ，则切线方程 为，再由切线过点得 .又已知 ，由上式求出，的值，即求出了过点 的切线方程. 题型探究 8 题型3 利用导数研究函数的单调性 例3 已知函数，.讨论 的单调性. [解析] 由题意得的定义域为 ， . 若，则 , 当时，， 单调递增; 当时，， 单调递减. 若， . 题型探究 9 ①当时， ， 当或，时，， 单调递增； 当，时，， 单调递减. ②当时，，在上，， 单调递增. 题型探究 10 ③当时， ， 当，或时，， 单调递增; 当，时，， 单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，在 上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减，在， 上单 调递增； 当时，在 上单调递增； 当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在 上单调递增. 题型探究 11 小结 函数的单调性与导数的关注点：（1）关注函数的定义域，单调区间应为定义域的 子区间；（2）已知函数在某个区间上的单调性时，转化要等价；（3）分类讨论求函数 的单调区间的实质是讨论不等式的解集；（4）求参数的取值范围时常用到分离参数法. 题型探究 12 题型4 利用导数求函数极（最）值 例4（1） （2022年全国甲卷）当时，函数取得最大值 ，则 ( ) . B A. B. C. D.1 题型探究 13 [解析] 因为函数的定义域为 ， 所以依题意可知又 ， 所以即所以 ， 因此函数在上单调递增，在 上单调递减， 当 时,函数取得最大值，满足题意. 所以 .故选B. 题型探究 14 （2）（2023年新高考全国Ⅱ卷）（多选题）若函数 既有 极大值也有极小值，则( ) . BCD A. B. C. D. 题型探究 15 [解析] 因为函数，所以函数的定义域为 ， .因为函数既有极大值也有极小值，所以关于 的方程 有两个不相等的正实根，，则 即 所以故选 . 题型探究 （3）若是函数的极值点，则 的极小值为____. [解析] 由，可得 ， 由是函数 的极值点， 可得，即 ，解得 . 所以 ， 因为函数的极值点为，，所以当或时， ，函数是增 函数， 当时， ，函数是减函数， 故当时，函数取得极小值，极小值为 . 题型探究 17 小结（1）求极值时一般需确定的点和 的单调性，对于常见的连续函数， 先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，对应的极值点必为函 数的最值点.（2）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可 不做判断，只需要直接与端点的函数值比较即可. 题型探究 18 题型5 利用导数解决函数的零点或方程根的问题 例5 （2022年全国乙卷）已知函数 . （1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求 的取值范围. [解析] （1）当时，， ， 则 . 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减. 所以 . 题型探究 19 （2），，则 . 当时，，所以当时，， 单调递增；当 时，， 单调递减. 所以 ，此时函数无零点，不符合题意