1.2 课时3 简单复合函数的求导 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1 课时3 简单复合函数的求导 2 1.了解复合函数的概念.（数学抽象） 2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数.（逻辑推理、数学运算） 3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题.（数学抽象、数学运算） 学习目标 3 1.（1）现有方法能求函数 的导数吗？为什么？ [答案] 现有方法无法求出它的导数.主要原因如下：用定义不能求出极限；该函数不是基本初等函数，没有求导公式；该函数不是基本初等函数的和、差、积、商形式，不能用导数的四则运算法则解决这个问题. 自主预习 4 （2）函数 可以用基本初等函数表示吗？它的结构特点是什么？ [答案] 可以，函数是由函数和函数 复合而成的复合函数. （3）函数 的导数是什么？ [答案] . 自主预习 5 2.对于函数，其导函数是 吗？ [答案] 不是. 自主预习 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数是由函数和函数 复合而成的. ( ) √ （2）若，则 . ( ) × （3）若，则 . ( ) × 自主预习 7 2.函数 的复合过程正确的是( ) . A A.， B.， C.， D.， 3.函数 的导数是( ) . C A. B. C. D. [解析] ， . 自主预习 8 4.下列对函数的求导正确的是( ) . D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 [解析] 对于A，，故A错误；对于B， ，故B错误；对于 C，，故C错误；对于D， ，故D正确. 自主预习 9 探究1 复合函数的概念 问题1： 函数 是由哪些函数复合而成的？ [答案] 函数是由及两个函数复合而成的，即可以通过中间变量表示为自变量 的函数. 合作探究 10 问题2： 如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的？ [答案] 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出，再根据内层的主体函数结构找出函数，函数和复合而成函数 . 合作探究 11 新知生成 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 . 合作探究 12 新知运用 例1 下列函数是怎样复合而成的？ （1） ； （2） . [解析] （1）令，则 ， 所以函数是由函数和函数 复合而成的. （2）令，则，所以函数是由函数和函数 复 合而成的. 合作探究 13 若与均为基本初等函数，则函数或函数 均为复合函数. 合作探究 14 函数 是怎样复合而成的？ [解析] 函数是由函数和函数 复合而成的. 合作探究 15 探究2 复合函数的导数 问题1： 如何求函数 的导数？试写出复合函数求导的过程. [答案] ，由两个函数相乘的求导法则可知 ，从整体上来看，函数 的外层函数是基本初等函数 ，它的导数，内层函数是，它的导数是 .可发现 .求复合函数的导数一般分以下四步： 合作探究 16 问题2： 利用复合函数的求导法则求函数的导数，需注意什么？ [答案] （1）分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，选定适当的中间变量. （2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，其中要特别注意的是中间变量的系数.如，而不能错误地认为“ ”.（3）根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成关于自变量的函数. 合作探究 17 新知生成 一般地，对于由函数和复合而成的函数 ，它的导数 与函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对 的导数与对 的导数的乘积. 合作探究 18 新知运用 例2 求下列函数的导数. （1）；（2） ； （3）；（4） . [解析] （1） . （2） . 合作探究 19 （3） . （4） . 合作探究 20 对于复合函数的求导，要注意分析函数的具体特征，灵活恰当地选择中间 变量，中间变量的选择应是基本函数的结构，切不可机械照搬某种固定的模式，否则 会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算.注意：复合函数在求导时，一 般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导.不要忘记中间变量对自变量的求导. 合作探究 21 求下列函数的导数. （1）；（2） ； （3）；（4） . [解析] （1） . （2） . （3） . （4） . 合作探究 22 探究3 复合函数求导法则的应用 例3（1） 曲线上的点到直线 的最短距离是( ) . A A. B. C. D.0