8.1实数与向量的乘法(第3课时)（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.1实数与向量的乘法（第3课时） 学习目标 1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量的数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线. 向量的 加法运算 三角形法则 平行四边形法则 运算率 首尾相接，连首尾 C B + b 共起点，对角线 B O A + b 交换率： 结合率： ＋＝______ ＋ ( )＋＝＋( ) ＋ ＋ 复习导入 向量的 减法运算 相反向量 减法运算 与向量长度相同，方向相反的向量， 叫做的相反向量，记作． 向量加上的相反向量，叫做 与的差，即． ３ 实数与向量的乘法 如图８-１-１２，某科考船以１２海里／时的速度匀速沿东北方向航行，中午１２时船的位置在点A 处．请描述下午３时和下午４时３０分该船与点A的相对位置 同学们一定很容易给出答案：该船下午３时在点A 东北方向的３６海里处，而下午４时３０分在点A东北方向的５４海里处． 新课讲解 同学们的计算可能是直接把速度的数值乘时间，忽略了速度和位移都是向量这一事实．这样把向量问题简化为数量问题处理，碰到复杂问题（如多个方向位移的合成）时就可能力不从心了．如果回到向量记号， 的３与４．５是时间，它们只是数量（实数）． 为了在向量空间中解释这种乘积，我们要先定义实数与向量的乘法． 暂不考虑有关量的单位，采用实数与向量乘积的记号，下午３时和４时 的单位，由于３及４．５的单位是小时，速度的单位是海里／时，从而下午３时和４时３０分科考船在点A东北方向３６海里处和５４海处．我 西南方向３６海里处． 数学上实数与向量的乘积只是简单地理解为原向量的倍数． 但在实际问 题中，向量和实数都有可能被赋予特定的意义和单位，如上例中的速度、 位移和时间，它们的乘积就可能有更复杂的含义 向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算（ ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｉｏｎ）．从一个或几个向量出发，通过线性运算得 到 的 新 向 量 称 为 原 来 那 些 向 量 的 线 性 组 合（ ｌｉｎｅａｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ）． 例６ 化简下列向量线性运算： 题型一：向量的线性运算 例1.化简： (1)(2) 解：(1)原式 (2)原式 题型分类讲解 【变式1】(1)若向量，，则. (2)若，其中为已知向量，则向量. 答案：(1)；(2). 解：(1) (2)有题知， ∴∴. 题型二：用已知向量表示其他向量 例2.如图，四边形是以，为邻边的平行四边形，已知，，对角线交于点，又，，试用向量表示，. 解：∵∴ ∴ ∵∴ ∴. 【变式2】.在中，已知是上的点，且，设，，试用和表示. 解：∵三点共线，且， ∴. ∴ . 题型三：共线向量定理的应用 例3.设是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：三点共线； 解：(1)证明：∵ ∴与共线，且有公共点， ∴三点共线. 例3.设是不共线的两个向量. (2)若与共线，求实数的值. 解：(2)∵与共线， ∴存在实数，使得 即 ∵与不共线，∴解得 【变式3】.(1)若向量不共线，且，，，则共线的三点是（ ）. A. B. C. D.,S 答案：C. 解：由，得， 则 即 ∵与有公共点， ∴三点共线. 练习８．１（３） １．化简下列向量线性运算： ２．根据下列条件，求向量 课本练习 随堂检测 A，B，D ∴A，B，D三点共线. 解析　因为A，B，D三点共线， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 27 28 一、① 的定义及运算律. ②向量共线基本定理. 二、 定理的应用： 1.证明向量共线： 向量 与 共线 2.证明三点共线： A，B，C三点共线 3.证明两直线平行： AB与CD不在同一条直线上 课堂小结 1．eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于(　　) A．2a－b　　　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b B　[原式＝eq \f(1,6)(2a＋8b)－eq \f(1,3)(4a－2b)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(4,3)b－eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b ＝－a＋2b．] ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2， ∴，共线，且有公共点B， 2.已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2