1.2 课时1 几个基本函数的导数 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1 课时1 几个基本函数的导数 2 1.能根据定义求常见幂函数的导数.（数学抽象、数学运算） 2.掌握一些基本函数的导数公式，并能进行简单的应用.（数学抽象、数学运算） 学习目标 3 1.导数的定义是什么？ [答案] 设函数在包含的某个区间上有定义，在 趋近于0时，若比值 趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数在 处的导 数或微商. 可简述为当时，或 . 自主预习 4 2.定义法求函数 的导数的一般步骤是什么？ [答案] （1）求函数的改变量；（2）求平均变化率 ；（3） 取极限，得导数 .简称:一差、二商、三极限. 3.如何求 的导数？ [答案] 若，则 ， 当时，，所以 . 自主预习 5 4.由几个常见函数的导数能否得出 的导数公式？ [答案] 能. 5.正、余弦函数的导数公式，指数函数与对数函数的导数公式分别是什么？ [答案] （1）；（2）；（3）；（4） . 自主预习 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数在一点处的导数 是一个常数. ( ) √ （2）若，则 . ( ) × （3）若，则 . ( ) × （4）若，则 . ( ) × 自主预习 7 2.给出下列结论： ①若，则；②若，则 ； ③若，则；④若，则 . 其中正确结论的个数为( ) . C A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 对于①， ，故①错误；显然②③④正确.故选C. 自主预习 8 3.若函数，则 等于( ) . C A. B.10 C. D. [解析] ， . 4.曲线在点 处的切线方程为_____________. [解析] ， 当时， ， 在点处的切线方程为，即 . 自主预习 9 探究1 常见幂函数的导数 问题1： 函数 的导数是什么？如何从几何、物理的角度理解？ [答案] ，, . 从几何角度理解：表示函数 图象上每一点处的切线的斜率都为0. 从物理角度理解：若表示路程关于时间的函数，则 表示某物体的瞬时速度 始终为0，即一直处于静止状态. 合作探究 10 问题2： 函数 的导数是什么？并说明其导数的几何意义. [答案] ，, . 它的几何意义：表示函数 图象上每一点处的切线斜率都为1. 问题3： 函数 的导数是什么？ [答案] ， 当时，, . 合作探究 11 新知生成 常见幂函数的导数 （1）常函数的导数为0，即 ； （2）恒等函数导数为1，即 ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） . 合作探究 12 新知运用 例1 写出过点并且和曲线 相切的两条直线的方程. [解析] 曲线化为，其导函数为 ， 设过点的直线与曲线相切于点,，则切线的斜率 ， 所以切线方程为 . 因为切线过点，所以，解得或 . 当时，切线方程为 ； 当时，切线方程为 . 合作探究 13 （1）若点在已知曲线上，求在点 处的切线方程，先求出函 数在点 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程为 .（2）若点不在曲线上，求过点 的切线方程，首 先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切 线方程. 合作探究 14 试求过点且与曲线 相切的直线方程. [解析] 设所求切线的切点坐标为 ， 因为函数的导数为 ， 所以曲线在切点处的切线的斜率为 ， 即所求切线方程为 . 因为切线过点 ， 所以，解得或 ， 即所求的切线有两条，方程分别是和，即 和 . 合作探究 15 探究2 一些基本初等函数的导数 已知函数：，，，， . 问题1： 这些函数是哪类初等函数？ [答案] 幂函数. 问题2： 写出这五个函数的导数，其导数有什么规律？ [答案] ，，，， . 其规律是 . 合作探究 16 问题3： 这些导数的几何意义是什么？ [答案] 这些导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率. 问题4： 这些导数的物理意义是什么? [答案] 这些导数的物理意义是运动的物体在某一时刻的瞬时速度. 合作探究 17 新知生成 基本初等函数的导数公式 （公式对函数定义域内的自变量有效，其中（7）（8）（9）中的自变量 的单位 是弧度） （1） ； （2） ； （3） ； 合作探究 18 （4），且 ； （5） ； （6），且， ； （7） ； （8） ； （9） . 合作探究 19 新知运用 例2 求下列函数的导数. （1）；（2）；（3） ； （4）；（5） . 合作探究 20 [解析] （1） . （2） . （