6.2 数学建模——从自然走向理性之路 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

6.2 数学建模——从自然走向理性之路 【学习目标】 经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程,掌握建模方法.(数学建模) 【合作探究】 　　决定苹果的最佳出售时间点. 1.问题描述 市场上某一种蔬菜、水果等价格会随着季节呈现周期性变化,比如苹果,刚上市时价格比较高,随着大量上市,价格越来越低,这时若利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售,则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收入.不过,需要注意的是,保鲜存储是有成本的,而且成本会随着时间的延长而增大. 2.模型假设 经济学家:为什么会发生这种“囤积居奇”的现象?什么情况下不会发生这种现象? 生物学家:能够利用哪些技术手段进行保鲜存储?哪种保鲜存储的成本最低? 消费者:什么时候是买苹果的最佳时间? 营销者:什么时候是卖苹果的最佳时间? (1)明确问题 苹果的最佳售出时间点就是获得最大收益的时间点. (2)必要假设,简化问题 ①除储存成本外,无其他成本; ②苹果数量是个定值;(如:果园产量为定值) ③苹果都能售出. (3)分析变量间的关系 ①收益=价格-成本; ②价格与市场上苹果数量的关系; ③市场上苹果数量与时间的关系; ④成本即储存成本与时间的关系. 因为时间会影响储存成本和市面上苹果的数量,而苹果数量又影响了苹果的价格,所以最终是时间决定了收益. 3.模型建立 设保鲜存储时间为t,市面上苹果的数量为x万吨,苹果的单价为y元,单位数量苹果的储存成本为C,单位数量苹果的收益为z. (1)z=y-C; (2)y=f(x)是一个减函数,可设为一次函数f(x)=k1x+l1; (3)x=h(t)可设为二次函数h(t)=at2+bt+c; (4)C=g(t)是一个增函数,可设为一次函数g(t)=k2t+l2. 综上,我们可以建立一个z关于t的函数z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2. 4.模型求解 确定参数、计算求解 (1)收集数据 x/万吨 8.4 7.6 y/元 0.8 1.2 t/天 1 2 C/元 0.11 0.12 t/天 1 2 3 x/万吨 9.462 9.328 9.198 　　(2)代入确定参数 利用待定系数法,根据前面的假设就可以列出如下方程组: 计算出参数k1,l1,k2,l2,a,b,c. (3)确定函数模型 确定函数y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=0.01t+0.1,x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6, 因此,我们可以得到收益关于时间的函数z=-0.001t2+0.06t+0.1. (4)计算求解 z=-0.001(t-30)2+1,当t=30时,z取得最大值,最大值为1, 也就是说,在上述情况下,当保鲜储存30天时,单位数量苹果所获得的利润最大,最大利润为1元. 5.模型的分析与检验 (1)还原到实际问题上,结果有偏差 (2)原因分析 ①简化问题,减少了变量; ②因为数据与所学有限,函数模型过于简单,所以可从以上两点改进模型. 6.推广应用 (1)数学建模的概念 数学建模就是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、数学方法构建模型解决问题.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型,最终解决实际问题. (2)数学建模与应用题的异同 数学建模与我们以往做的应用题都是用数学方法解决实际问题,但是应用题的数量关系是确定的,答案当然也是确定的,相比应用题,数学建模有以下几个特点: ①问题是自己发现和提出的; ②数量关系是自己分析出来的; ③数据是自己收集的; ④函数关系或者说数学模型是自己建立的. (3)用框图表示数学建模的基本过程 　　某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.该家庭有20万元资金全部用于理财投资,怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 数学建模——从自然走向理性之路 【学习目标】 经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程,掌握建模方法.(数学建模) 【合作探究】 　　决定苹果的最佳出售时间点. 1.问题描述 市场上某一种蔬菜、水果等价格会随着季节呈现周期性变化,比如苹果,刚上市时价格比较高,随着大量上市,价格越来越低,这时若利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售,则同样