第4章立体几何章末小结 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 空间几何体的结构特征 例1　根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体. 【解析】　(1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形,所以几何体是棱锥,其底面又是凸五边形,所以几何体是五棱锥. (2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台. (3)如图③,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成. 小结　与空间几何体的结构特征有关的解题技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后依据题意判定. (2)通过举反例对结构特征进行辨析,要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可. 题型2 空间几何体的体积和表面积 例2　如图所示(单位:cm),求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的空间图形的表面积和体积. 【解析】　由题意知,该平面图形旋转一周后所得的空间图形是一个圆台挖掉半个球, 所以所求空间图形的表面积由三部分组成:圆台的下底面面积、侧面积和一半球面的表面积, 由AD=2 cm,BC=5 cm,AB=4 cm,可得CD==5 cm,所以S半球=×4π×22=8π cm2,S圆台侧=π×(2+5)×5=35π cm2,S圆台底=25π cm2, 故所求空间图形的表面积为68π cm2. 又V圆台=×[π×22++π×52]×4=52π cm3,V半球=×23×= cm3, 所以所求空间图形的体积为V圆台-V半球=52π-=π cm3. 小结　空间几何体的表面积与体积的求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)关于旋转体的表面积的问题要注意其侧面展开图的应用. (3)求复杂几何体的体积常用割补法、等体积法求解. 题型3 与球有关的切、接问题 例3　(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为(　　). A. B. C. D.16π (2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是,那么这个三棱柱的体积是(　　). A.96 B.16 C.24 D.48 【答案】　(1)B　(2)D 【解析】　(1)如图,设PE为正四棱锥P-ABCD的高,则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF. 由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF, 又底面边长为4,所以AE=2,而PE=6,所以侧棱长PA====2.设球的半径为R,则PF=2R.由三角形相似得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=,所以S=4πR2=4π×=,故选B. (2)由球的体积公式可求得球的半径R=2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a,高即侧棱长,为h,则h=2R=4.在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,有×=R=2,解得a=4.故此三棱柱的体积V=××(4)2×4=48. 小结　与球相关问题的解题策略 (1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体,截面一要过球心,二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题. (2)对于“内切”和“外接”等问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决. 题型4 空间点、线、面位置关系的判断 例4　(2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　). A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 【答案】　A 【解析】　如图,对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确; 对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误; 对于选项C,由题意知直线AA1