3.3.2 抛物线的简单几何性质(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

练案[２８] 第三章　 圆锥曲线的方程 ３. ３　 [３. ３. ２　 第 １ 课时　 抛物线的简单几何性质] Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 顶点在原点ꎬ对称轴为 ｙ 轴ꎬ顶点到准线的距离 为 ４ 的抛物线方程是 ( Ｄ ) Ａ. ｘ２ ＝ １６ｙ　 　 Ｂ. ｘ２ ＝ ８ｙ Ｃ. ｘ２ ＝ ± ８ｙ　 　 Ｄ. ｘ２ ＝ ± １６ｙ ２. (多选)以 ｘ 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦 点且与对称轴垂直的弦)长为 ８ꎬ若抛物线的顶 点在坐标原点ꎬ则其方程可以为 ( Ａ ) Ａ. ｙ２ ＝ ８ｘ Ｂ. ｙ２ ＝ － ８ｘ Ｃ. ｘ２ ＝ ８ｙ Ｄ. ｘ２ ＝ ４ｙ ３. 已知抛物线 Ｃ 的顶点是原点 Ｏꎬ焦点 Ｆ 在 ｘ 轴 的正半轴上ꎬ经过点 Ｆ 的直线与抛物线 Ｃ 交于 ＡꎬＢ 两点ꎬ若ＯＡ→􀅰ＯＢ→ ＝ － １２ꎬ则抛物线 Ｃ 的方 程为 ( Ｃ ) Ａ. ｘ２ ＝ ８ｙ　 　 Ｂ. ｘ２ ＝ ４ｙ Ｃ. ｙ２ ＝ ８ｘ　 　 Ｄ. ｙ２ ＝ ４ｘ ４. (２０２２􀅰福州市八县协作校期末联考)已知 Ａ 是 抛物线ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)上一点ꎬＦ 是抛物线的焦 点ꎬＯ 为坐标原点ꎬ当 ｜ ＡＦ ｜ ＝ ４ 时ꎬ∠ＯＦＡ ＝ １２０°ꎬ则抛物线的准线方程是 ( Ａ ) Ａ. ｘ ＝ － １ Ｂ. ｘ ＝ － ３ Ｃ. ｘ ＝ － １ 或 ｘ ＝ － ３ Ｄ. ｙ ＝ － １ ５. 已知 ＡꎬＢ 是抛物线 ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)上的两点ꎬＯ 为原点ꎬ若 ｜ＯＡ→ ｜ ＝ ｜ ＯＢ→ ｜ ꎬ且抛物线的焦点恰好 为△ＡＯＢ 的垂心ꎬ则直线 ＡＢ 的方程是 ( Ｃ ) Ａ. ｘ ＝ ｐ Ｂ. ｘ ＝ ３２ ｐ Ｃ. ｘ ＝ ５２ ｐ Ｄ. ｘ ＝ ３ｐ 二、填空题 ６. 已知 Ｏ 为坐标原点ꎬＦ 为抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ 的焦点ꎬ Ａ 是抛物线上一点ꎬ若ＯＡ→􀅰ＡＦ→ ＝ － ４ꎬ则点 Ａ 的 坐标是　 　 　 　 　 　 . ７. 顶点在原点ꎬ对称轴是 ｘ 轴ꎬ并且顶点与焦点的 距离等于 ６ 的抛物线方程是　 　 　 　 　 　 . ８. 一个正三角形的两个顶点在抛物线 ｙ２ ＝ ａｘ 上ꎬ 另一个顶点是坐标原点ꎬ如果这个三角形的面 积为 ３６ ３ꎬ则 ａ ＝ 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 以抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)的顶点为圆心的圆 交 Ｃ 于 ＡꎬＢ 两点ꎬ交 Ｃ 的准线于 ＤꎬＥ 两点. 已 知 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ ６ꎬ ｜ＤＥ ｜ ＝ ２ １０ꎬ求 ｐ 的值. １０. 已知直线 ｌ 经过抛物线 ｙ２ ＝ ６ｘ 的焦点 Ｆꎬ且与 抛物线交于 ＡꎬＢ 两点. (１)若直线 ｌ 的倾斜角为 ６０°ꎬ求 ｜ ＡＢ ｜的值ꎻ (２)若 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ９ꎬ求线段 ＡＢ 的中点 Ｍ 到准线的 距离. Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. (２０２２􀅰安徽省蚌埠市高二期末)设抛物线 ｙ２ ＝ ２ｘ 的焦点为 Ｆꎬ互相垂直的两条直线过 Ｆꎬ与抛 物线相交所得的弦分别为 ＡＢꎬＣＤꎬ则 ｜ ＡＢ ｜ 􀅰 ｜ＣＤ ｜的最小值为 ( Ａ ) Ａ. １６ Ｂ. ８ Ｃ. ４ Ｄ. ２ ２. (２０２３􀅰房山区期末检测)如果抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ 的焦点为 Ｆꎬ点 Ｍ 为该抛物线上的动点ꎬ又点 Ａ( － １ꎬ０)ꎬ那么 ｜ＭＦ ｜｜ＭＡ ｜的最大值是 ( Ｄ ) Ａ􀆰 １２ Ｂ􀆰 ２ ２ Ｃ􀆰 ３２ Ｄ􀆰 １ ３. (多选)已知抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)的焦点 Ｆ 到准线的距离为 ２ꎬ过点 Ｆ 的直线与抛物线交于 ＰꎬＱ 两点ꎬＭ 为线段 ＰＱ 的中点ꎬＯ 为坐标原点ꎬ 则下列结论正确的是 ( Ｂ ) Ａ. Ｃ 的准线方程为 ｙ ＝ － １ Ｂ. 线段 ＰＱ 的长度最小为 ４ Ｃ. Ｍ 的坐标可能为(３ꎬ２) Ｄ. ＯＰ→􀅰ＯＱ→ ＝ － ３ 恒成立 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — ０４６ — ４. (多选)已知过抛物线 ｙ２ ＝ ６ｘ 焦点的弦长为 １２ꎬ 则该弦所在直线的倾斜角可以是 ( Ｂ ) Ａ. π６ Ｂ. π