3.3.1 抛物线及其标准方程(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

７. 已知双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的左、右 焦点分别为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬ过 Ｆ１ 的直线与 Ｃ 的两条渐 近线分别交于 ＡꎬＢ 两点. 若Ｆ１Ａ → ＝ ＡＢ→ꎬＦ１Ｂ →􀅰Ｆ２Ｂ → ＝ ０ꎬ则∠Ｆ１ＢＦ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 ꎬＣ 的离心率为 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ８. (２０２２􀅰福州市八县(市)协作校期末)已知中 心在原点的双曲线 Ｃ 的右焦点为 Ｆ(２ꎬ０)ꎬ直线 ３ｘ － ２ｙ ＝ ０ 与双曲线 Ｃ 的一个交点的横坐标 为 ２. (１)求双曲线 Ｃ 的标准方程ꎻ (２)过点(０ꎬ１)ꎬ倾斜角为 １３５°的直线 ｌ 与双曲 线 Ｃ 相交于 Ａ、Ｂ 两点ꎬＯ 为坐标原点ꎬ求△ＯＡＢ 的面积. ９. 已知双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝１(ａ >０ꎬｂ >０)ꎬ如图ꎬＢ 是 右顶点ꎬＦ 是右焦点ꎬ点 Ａ 在 ｘ 轴正半轴上ꎬ且满足 ｜ＯＡ→ ｜ꎬ｜ＯＢ→ ｜ꎬ ｜ＯＦ→ ｜成等比数列ꎬ过 Ｆ 作双曲线 Ｃ 在第一、三象限的渐近线的垂线 ｌꎬ垂足为 Ｐ. (１)求证:ＰＡ→􀅰ＯＰ→ ＝ ＰＡ→􀅰ＦＰ→ꎻ (２)若 ｌ 与双曲线 Ｃ 的左右两支分别相交于点 ＥꎬＤꎬ求双曲线离心率 ｅ 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 练案[２７] 第三章　 圆锥曲线的方程 ３. ３　 [３. ３. １　 抛物线及其标准方程] Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. (２０２３􀅰安徽安庆市期末调研)抛物线 ｘ ＝ ４ｙ２ 的焦点坐标是 ( Ｄ ) Ａ. (０ꎬ１) Ｂ. (０ꎬ － １) Ｃ. － １１６ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ Ｄ. １１６ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ ２. 在平面直角坐标系内ꎬ到点(１ꎬ１)和直线 ｘ ＋ ２ｙ ＝ ３ 的距离相等的点的轨迹是 ( Ａ ) Ａ. 直线 Ｂ. 抛物线 Ｃ. 圆 Ｄ. 双曲线 ３. 已知直线 ｌ１:４ｘ － ３ｙ ＋ ６ ＝ ０ 和直线 ｌ２:ｘ ＝ － １ꎬ抛 物线 ｙ２ ＝ ４ｘ 上一动点 Ｐ 到直线 ｌ１和直线 ｌ２的距 离之和的最小值是 ( Ａ ) Ａ. ２　 　 Ｂ. ３ Ｃ. １１５ 　 　 Ｄ. ３７ １６ ４. (多选)若抛物线 ｙ２ ＝ ｘ 上一点 Ｐ 到准线的距离 等于它到顶点的距离ꎬ则点 Ｐ 的坐标可以是 ( Ｂ ) Ａ. １ ４ ꎬ － ２ ４ æ è ç ö ø ÷　 　 Ｂ. １８ ꎬ － ２ ４ æ è ç ö ø ÷ Ｃ. １ ４ ꎬ ２ ４ æ è ç ö ø ÷　 　 Ｄ. １８ ꎬ ２ ４ æ è ç ö ø ÷ ５. 已知点 Ａ( －２ꎬ３)在抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝２ｐｘ 的准线上ꎬ记 Ｃ 的焦点为 Ｆꎬ则直线 ＡＦ 的斜率为 ( Ｃ ) Ａ. － ４３ Ｂ. － １ Ｃ. － ３ ４ Ｄ. － １ ２ 二、填空题 ６. 抛物线 ｙ ＝ ａｘ２ 的准线方程是 ｙ ＝ ２ꎬ则 ａ 的值为 　 　 　 　 　 　 . ７. 沿直线 ｙ ＝ － ２ 发出的光线经抛物线 ｙ２ ＝ ａｘ 反 射后ꎬ与 ｘ 轴相交于点 Ａ(２ꎬ０)ꎬ则抛物线的准 线方程为 　 　 　 　 　 　 (提示:抛物线的光学性 质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平 行) . ８. (２０２３􀅰湖南浏阳一中醴陵一中高二联考)已知 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — ０４４ — 抛物线ｙ２ ＝ ４ｘ 上一点 Ｐ 到焦点 Ｆ 的距离为 ５ꎬ 则△ＰＦＯ 的面积为　 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 若抛物线 ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)上一点 Ｍ 到准线及对 称轴的距离分别为 １０ 和 ６ꎬ求 Ｍ 点的横坐标及 抛物线方程. １０. 已知抛物线的顶点在原点ꎬ焦点在 ｘ 轴的正半 轴上ꎬ抛物线上的点 Ｍ(３ꎬｍ)到焦点的距离等 于 ５ꎬ求抛物线的方程和 ｍ 的值. Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. Ｏ 为坐标原点ꎬＦ 为抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ４ ２ ｘ 的焦 点ꎬＰ 为 Ｃ 上一点ꎬ若 ｜ ＰＦ ｜ ＝ ４ ２ꎬ则△ＰＯＦ 的 面积为 ( Ｃ ) Ａ. ２ Ｂ. ２ ２ Ｃ. ２