3.2.1 双曲线及其标准方程(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

练案[２４] 第三章　 圆锥曲线的方程 ３. ２　 [３. ２. １　 双曲线及其标准方程] Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 在方程 ｍｘ２ － ｍｙ２ ＝ ｎ 中ꎬ若 ｍｎ < ０ꎬ则方程的曲 线是 ( Ｄ ) Ａ. 焦点在 ｘ 轴上的椭圆 Ｂ. 焦点在 ｘ 轴上的双曲线 Ｃ. 焦点在 ｙ 轴上的椭圆 Ｄ. 焦点在 ｙ 轴上的双曲线 ２. 在双曲线的标准方程中ꎬ若 ａ ＝ ６ꎬｂ ＝ ８ꎬ则标准 方程是 ( Ｄ ) Ａ. ｙ ２ ３６ － ｘ２ ６４ ＝ １ Ｂ. ｘ ２ ６４ － ｙ２ ３６ ＝ １ Ｃ. ｘ ２ ３６ － ｙ２ ６４ ＝ １ Ｄ. ｘ ２ ３６ － ｙ２ ６４ ＝ １ 或 ｙ２ ３６ － ｘ２ ６４ ＝ １ ３. (多选)已知方程 ｘ ２ ４ － ｔ ＋ ｙ２ ｔ － １ ＝ １ 表示曲线 Ｃꎬ则 下列判断正确的是 ( Ｂ ) Ａ. 当 １ < ｔ < ４ 时ꎬ曲线 Ｃ 表示椭圆 Ｂ. 当 ｔ > ４ 或 ｔ < １ 时ꎬ曲线 Ｃ 表示双曲线 Ｃ. 若曲线 Ｃ 表示焦点在 ｘ 轴上的椭圆ꎬ则 １ < ｔ < ５２ Ｄ. 若曲线 Ｃ 表示焦点在 ｙ 轴上的双曲线ꎬ则 ｔ > ４ ４. (２０２３􀅰房山区期末检测)已知双曲线ｘ ２ ６４ － ｙ２ ３６ ＝ １ 的焦点为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬＰ 为其上一点. 若点 Ｐ 到 Ｆ１ 的距离为 １５ꎬ则点 Ｐ 到 Ｆ２ 的距离是 ( Ａ ) Ａ. ３１ Ｂ. １ Ｃ. － １ Ｄ. － １ 或 ３１ ５. (２０２３􀅰福州一中学段模考)已知双曲线ｘ ２ １６ － ｙ２ ２０ ＝ １ 的左、右焦点分别为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬＰ 为双曲线右支 上一点ꎬ且 ＰＦ２ 的中点 Ｍ 在以 Ｏ 为圆心 ＯＦ１ 为 半径的圆上ꎬ则 ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ( Ｃ ) Ａ. １２ Ｂ. ９ Ｃ. ４ Ｄ. ２ 二、填空题 ６. 与双曲线 ｘ ２ ６４ － ｙ２ ３６ ＝ １ 有相同焦点ꎬ 且过点 １０ꎬ４ １５３ æ è ç ö ø ÷的双曲线方程为　 　 　 　 　 　 . ７. 已知双曲线方程为 ２ｘ２ － ｙ２ ＝ ｋ( ｋ≠０)ꎬ焦距为 ６ꎬ则 ｋ 的值为　 　 　 　 　 　 . ８. 已知 Ｆ１ꎬＦ２ 分别为双曲线 Ｃ:ｘ２ － ｙ２ ＝ １ 的左、右 焦点ꎬ点 Ｐ 在 Ｃ 上ꎬ∠Ｆ１ＰＦ２ ＝ ６０°ꎬ则 ｜ ＰＦ１ ｜ 􀅰 ｜ＰＦ２ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 已知双曲线经过两点 Ｍ(１ꎬ１)、Ｎ( － ２ꎬ５)ꎬ求双 曲线的标准方程. １０. 如图所示ꎬ已知定圆 Ｆ１:ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ １０ｘ ＋ ２４ ＝ ０ꎬ 定圆 Ｆ２:ｘ２ ＋ ｙ２ － １０ｘ ＋ ９ ＝ ０ꎬ动圆 Ｍ 与定圆 Ｆ１、Ｆ２ 都外切ꎬ求动圆圆心 Ｍ 的轨迹方程. Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. 已知双曲线的两个焦点为 Ｆ１( － ５ꎬ０)ꎬＦ２( ５ꎬ ０)ꎬＰ 是双曲线上的一点ꎬ且 ＰＦ１ ⊥ＰＦ２ꎬ ｜ ＰＦ１ ｜ 􀅰 ｜ＰＦ２ ｜ ＝ ２ꎬ则双曲线的方程是 ( Ｃ ) Ａ. ｘ ２ ２ － ｙ２ ３ ＝ １ Ｂ. ｘ２ ３ － ｙ２ ２ ＝ １ Ｃ. ｘ ２ ４ － ｙ ２ ＝ １ Ｄ. ｘ２ － ｙ ２ ４ ＝ １ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — ０３９ — ２. 已知双曲线的左、右焦点分别为 Ｆ１、Ｆ２ꎬ过 Ｆ１ 的 直线与双曲线的左支交于 Ａ、Ｂ 两点ꎬ线段 ＡＢ 的 长为 ５ꎬ若 ２ａ ＝ ８ꎬ那么△ＡＢＦ２ 的周长是 ( Ｄ ) Ａ. １６ Ｂ. １８ Ｃ. ２１ Ｄ. ２６ ３. (多选)已知方程 ｘ ２ ２ ＋ ｍ － ｙ２ ｍ ＋ １ ＝ １ 表示双曲线ꎬ 则 ｍ 的取值范围可以是 ( Ｂ ) Ａ. ｍ < ２　 　 Ｂ. ｍ < － ２ Ｃ. ｍ > － １ Ｄ. １ < ｍ < ２ ４. (多选)在平面直角坐标系中ꎬ有两个圆 Ｃ１:( ｘ ＋２) ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 和 Ｃ２:(ｘ － ２) ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ꎬ其中常数 ｒ 满足 １≤ｒ≤２ꎬ一个动圆 Ｐ 与两圆都相切ꎬ则动 圆圆心的轨迹可以是 ( Ｂ