3.1.2 椭圆的简单几何性质(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

练案[２２] 第三章　 圆锥曲线的方程 ３. １　 [３. １. ２　 第 １ 课时　 椭圆的简单几何性质] Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 椭圆 ３ｘ２ ＋ ４ｙ２ ＝ １２ 的长轴长、短轴长分别为 ( Ｃ ) Ａ. ２ꎬ ３ Ｂ. ３ꎬ２ Ｃ. ４ꎬ２ ３ Ｄ. ２ ３ꎬ４ ２. 椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形ꎬ则 它的离心率 ｅ 为 ( Ａ ) Ａ. １２ Ｂ. １ ３ Ｃ. １ ４ Ｄ. ２ ２ ３. 椭圆 Ｃ１: ｘ２ ２５ ＋ ｙ２ ９ ＝ １ 和椭圆 Ｃ２: ｘ２ ９ － ｋ ＋ ｙ２ ２５ － ｋ ＝ １ 　 (０ < ｋ < ９)有 ( Ｂ ) Ａ. 等长的长轴 Ｂ. 相等的焦距 Ｃ. 相等的离心率 Ｄ. 等长的短轴 ４. (多选)关于椭圆ｘ ２ ２ ＋ ｙ２ ４ ＝ １ꎬ以下表述正确的是 ( Ｂ ) Ａ. 长轴长为 ２ ２ Ｂ. 焦距为 ２ ２ Ｃ. 离心率为 ２２ Ｄ. 左顶点的坐标为( － ２ꎬ０) ５. 在手工课上ꎬ王老师带领同学们一起制作了一 个近似鸟巢的金属模型ꎬ其俯视图可近似看成 是两个大小不同ꎬ离心率相同的椭圆ꎬ已知大椭 圆的长轴长为 ４０ ｃｍꎬ短轴长为 ２０ ｃｍꎬ小椭圆的 短轴长为 １０ ｃｍꎬ则小椭圆的长轴长为 ( Ｂ ) Ａ. ３０ ｃｍ　 Ｂ. ２０ ｃｍ Ｃ. １０ ｃｍ Ｄ. １０ ３ ｃｍ 二、填空题 ６. 已知椭圆的焦点在 ｙ 轴上ꎬ其上任意一点到两焦 点的距离和为 ８ꎬ焦距为 ２ １５ꎬ则此椭圆的标准 方程为　 　 　 　 　 　 . ７. (２０２３􀅰江苏苏州高二期末)如图所示ꎬ将桌面上 装有液体的圆柱形杯子倾斜 α 角(母线与竖直方 向所成角)后ꎬ液面呈椭圆形ꎬ当 α ＝ ３０°时ꎬ该椭 圆的离心率为　 　 　 　 　 　 . ８.与椭圆ｙ ２ ４ ＋ ｘ２ ３ ＝１ 有相同的离心率且长轴长与 ｘ２ ８ ＋ ｙ ２ ３ ＝１ 的长轴长相等的椭圆的标准方程为　 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ９.已知椭圆 ｘ２ ＋ (ｍ ＋ ３)ｙ２ ＝ ｍ(ｍ > ０)的离心率 ｅ ＝ ３２ ꎬ求 ｍ 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点 坐标、顶点坐标. １０. 椭圆 Ｃ:ｘ ２ ４ ＋ ｙ ２ ＝ １ 的左、右焦点分别为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬ 点 Ｍ 为其上的动点ꎬ当∠Ｆ１ＭＦ２为钝角时ꎬ求 点 Ｍ 的纵坐标的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — ０３５ — Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. 已知 Ｆ１ꎬＦ２ 是椭圆 Ｃ: ｘ２ ９ ＋ ｙ２ ４ ＝ １ 的两个焦点ꎬ 点 Ｍ 在 Ｃ 上ꎬ则 ｜ＭＦ１ ｜􀅰 ｜ＭＦ２ ｜的最大值为 ( Ｃ ) Ａ. １３ Ｂ. １２ Ｃ. ９ Ｄ. ６ ２. 已知椭圆的标准方程为 ｘ ２ １００ ＋ ｙ２ ６４ ＝ １ꎬ则椭圆上 的点Ｐ 到椭圆中心的距离 ｜ＯＰ ｜的取值范围为 ( Ｃ ) Ａ. [６ꎬ１０] Ｂ. [６ꎬ８] Ｃ. [８ꎬ１０] Ｄ. [１６ꎬ２０] ３. (多选)已知方程 ｘ ２ ｜ｍ ｜ － １ ＋ ｙ２ ２ － ｍ ＝ １ 表示焦点 在 ｙ 轴上的椭圆ꎬ则 ｍ 的取值范围可以是 ( Ａ ) Ａ􀆰 ｍ < － １ Ｂ􀆰 ｍ < ２ Ｃ􀆰 １ < ｍ < ２ Ｄ􀆰 １ < ｍ < ３２ ４. (多选)在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝１ (ａ > ｂ >０)上存在点 Ｐꎬ使得 ｜ＰＦ１ ｜ ＝３ ｜ＰＦ２ ｜ꎬ其中 Ｆ１ꎬＦ２分别为椭圆的左、右焦点ꎬ则该椭圆的离 心率可能为 ( Ｂ ) Ａ. １４ 　 　 Ｂ. １ ２ Ｃ. ３ ５ － ６　 　 Ｄ. ３４ 二、填空题 ５. (２０２３􀅰安徽屯溪一中高二期中)如图ꎬ点 ＦꎬＢ 分别为椭圆 Ｃ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ３ ＝ １(ａ > ３)的右焦点和上 顶点ꎬＯ 为坐标原点ꎬ且△ＯＦＢ 的周长为 ３ ＋ ３ꎬ则 实数 ａ 的值为　 　 　 　 　 　 . ６. 已知椭圆的焦点 Ｆ１、Ｆ２ 在 ｘ 轴上ꎬ它与 ｙ 轴的一 个交点为 Ｐꎬ且△ＰＦ１Ｆ２ 为正三角形ꎬ且焦点到 椭圆上的点