1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

练案[８] 第一章　 空间向量与立体几何 １. ４　 [１. ４. ２　 第 １ 课时　 距离问题] Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 已知直线 ｌ 的方向向量为 ａ ＝ ( － １ꎬ０ꎬ１)ꎬ点 Ａ(１ꎬ２ꎬ － １)在 ｌ 上ꎬ则点 Ｐ(２ꎬ － １ꎬ２)到 ｌ 的距 离为 ( Ｃ ) Ａ. １５　 　 Ｂ. ４ Ｃ. １７　 　 Ｄ. ３ ２ ２. 两平行平面 αꎬβ 分别经过坐标原点 Ｏ 和点 Ａ(２ꎬ１ꎬ１)ꎬ且两平面的一个法向量 ｎ ＝ ( － １ꎬ０ꎬ １)ꎬ则两平面间的距离是 ( Ｂ ) Ａ. ３２ Ｂ. ２ ２ Ｃ. ３ Ｄ. ３ ２ ３. 如图ꎬ正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的棱长为 １ꎬＯ 是平面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的中心ꎬ则 Ｏ 到平面 ＡＢＣ１Ｄ１ 的距离是 ( Ｂ ) Ａ. １２ Ｂ. ２ ４ Ｃ. ２ ２ Ｄ. ３ ２ ４. (２０２３􀅰泰安高二检测)已知四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中ꎬＡＢ→ ＝ (４ꎬ － ２ꎬ３)ꎬＡＤ→ ＝ ( － ４ꎬ１ꎬ０)ꎬＡＰ→ ＝ ( － ６ꎬ２ꎬ － ８)ꎬ则点 Ｐ 到底面 ＡＢＣＤ 的距离为 ( Ｄ ) Ａ. ２６１３ 　 　 Ｂ. ２６ ２６ Ｃ. １　 　 Ｄ. ２ ５. 已知正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的棱长为 ２ꎬ点 Ｅ 是 Ａ１Ｂ１ 的中点ꎬ则点 Ａ 到直线 ＢＥ 的距离是 ( Ｂ ) Ａ. ６ ５５ Ｂ. ４ ５ ５ Ｃ. ２ ５ ５ Ｄ. ５ ５ 二、填空题 ６. Ｒｔ△ＡＢＣ 的两条直角边 ＢＣ ＝ ３ꎬＡＣ ＝ ４ꎬＰＣ⊥平 面 ＡＢＣꎬＰＣ ＝ ９５ ꎬ则点 Ｐ 到斜边 ＡＢ 的距离是 　 　 　 　 　 　 . ７. 棱长为 １ 的正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬＭꎬＮ 分别是线段 ＢＢ１ꎬＢ１Ｃ１ 的中点ꎬ则直线 ＭＮ 到平 面 ＡＣＤ１ 的距离为　 　 　 　 　 　 . ８. 已知平面 α 的法向量为 ｎ ＝ ( － ２ꎬ － ２ꎬ１)ꎬ点 Ａ (ｘꎬ３ꎬ０)在平面 α 内ꎬ若点 Ｐ( － ２ꎬ１ꎬ４)到平面 α 的距离 ｄ 为１０３ ꎬ则 ｘ ＝ 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 在直三棱柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ＡＡ１ ＝ ２ꎬ∠ＢＡＣ ＝ ９０°ꎬＭ 为 ＢＢ１ 的中点ꎬＮ 为 ＢＣ 的 中点. (１)求点 Ｍ 到直线 ＡＣ１ 的距离ꎻ (２)求点 Ｎ 到平面 ＭＡ１Ｃ１ 的距离. １０. 四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中ꎬ底面 ＡＢＣＤ 为矩形ꎬＰＡ⊥ 平面ＡＢＣＤꎬＡＤ ＝ ２ＡＢ ＝ ４ꎬ且 ＰＤ 与底面 ＡＢＣＤ 所成的角为 ４５°. 求点 Ｂ 到直线 ＰＤ 的距离. Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. 四棱锥 Ｓ － ＡＢＣＤ 中ꎬＡＢ→ ＝ (４ꎬ － １ꎬ０)ꎬＡＤ→ ＝ (０ꎬ ３ꎬ０)ꎬＡＳ→ ＝ ( － ３ꎬ１ꎬ － ４)ꎬ则这个四棱锥的高 ｈ 为 ( Ｄ ) Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. ４ ２. 如图ꎬ 已知长方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ꎬＡ１Ａ ＝ ５ꎬＡＢ ＝ １２ꎬ则 直线 Ｂ１Ｃ１ 到平面 Ａ１ＢＣＤ１ 的 距离是 ( Ｃ ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — ０１３ — Ａ. ５ Ｂ. ８ Ｃ. ６０１３ Ｄ. １３ ３ ３. 如图ꎬＡＢＣＤ － ＥＦＧＨ 是棱长为 １ 的正方体ꎬ若 Ｐ 在正方体内部且 满足ＡＰ→ ＝ ３４ ＡＢ → ＋ １２ ＡＤ → ＋ ２３ ＡＥ →ꎬ则 Ｐ 到 ＡＢ 的距离为 ( Ｃ ) Ａ. ３４ Ｂ. ４ ５ Ｃ. ５ ６ Ｄ. ３ ５ ４. (多选)如图ꎬ在长方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＡ１ ＝ １ꎬＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ３ꎬＥ 是侧面 ＡＡ１Ｄ１Ｄ 的中心ꎬＦ 是底面 ＡＢＣＤ 的中心ꎬ以 Ａ 为坐标原点ꎬＡＢꎬＡＤꎬ ＡＡ１所在直线分别为 ｘ 轴ꎬｙ 轴ꎬｚ 轴建立空间直 角坐标系ꎬ则 ( Ａ ) Ａ. ＥＦ→是单位向量 Ｂ. ｎ ＝ (１ꎬ０ꎬ ３)是平面 Ａ１ＢＣ 的一个法向量 Ｃ. 点 Ａ 到直线 ＥＦ 的距离为 ５４ Ｄ