第3章 圆锥曲线的方程 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

章末知识梳理 知识体系构建 核心知识归纳 　 　 一、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、 几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个 定点 Ｆ１ꎬＦ２ 的 距离之和等于 常 数 ( 大 于 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ) 的 点 的轨迹 平面内与两个 定点 Ｆ１ꎬＦ２ 的 距离的差的绝 对值等于常数 (小于 ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ) 的点的轨迹 平面内与一 个定点 Ｆ 和 一条定直线 ｌ ( ｌ 不经过点 Ｆ) 距离相等 的点的轨迹 标准 方程 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １ 或 ｙ２ ａ２ ＋ ｘ ２ ｂ２ ＝ １ ( ａ > ｂ > ０) ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １ 或 ｙ２ ａ２ － ｘ ２ ｂ２ ＝ １ ( ａ > ０ꎬｂ > ０) ｙ２ ＝ ２ｐｘ 或 ｙ２ ＝ － ２ｐｘ 或 ｘ２ ＝ ２ｐｙ 或 ｘ２ ＝ － ２ｐｙ(ｐ > ０) 关系 式 ａ２ － ｂ２ ＝ ｃ２ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２ 图形 封闭图形 无限延展ꎬ但有 渐近线 ｙ ＝ ± ｂａ ｘ 或 ｙ ＝ ± ａｂ ｘ 无限延展ꎬ没 有渐近线 变量 范围 ｜ ｘ ｜≤ａꎬ ｜ ｙ ｜ ≤ｂ 或 ｜ ｙ ｜ ≤ａꎬ ｜ ｘ ｜ ≤ｂ ｜ ｘ ｜ ≥ａ 或 ｜ ｙ ｜ ≥ａ ｘ≥０ 或 ｘ≤０ 或 ｙ≥０ 或 ｙ ≤０ 对称 性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心 率 ｅ ＝ ｃａ ꎬ 且 ０ < ｅ < １ ｅ ＝ ｃａ ꎬ且 ｅ > １ ｅ ＝ １ 决定 形状 的因 素 ｅ 决定 扁平程度 ｅ 决定 开口大小 ２ｐ 决定 开口大小 　 　 二、椭圆的焦点三角形 设 Ｐ 为椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０) 上任意一点 (不在 ｘ 轴 上)ꎬＦ１ꎬＦ２ 为焦点且∠Ｆ１ＰＦ２ ＝ αꎬ则△ＰＦ１Ｆ２ 为焦点三角形(如图) . 　 　 １. 焦点三角形的面积 Ｓ ＝ ｂ２ ｔａｎ α２ . ２. 焦点三角形的周长 Ｌ ＝ ２ａ ＋ ２ｃ. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 100 　 　 　 　 　 三、双曲线及渐近线的设法技巧 １. 由双曲线标准方程求其渐近线方程时ꎬ最 简单实用的办法是:把标准方程中的 １ 换成 ０ꎬ即 可得到两条渐近线的方程. 如双曲线ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ >０ꎬｂ > ０)的渐近线方程为ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ ０(ａ > ０ꎬｂ > ０)ꎬ即 ｙ ＝ ± ｂａ ｘꎻ双曲线 ｙ２ ａ２ － ｘ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的 渐近线方程为 ｙ２ ａ２ － ｘ ２ ｂ２ ＝ ０ ( ａ > ０ꎬｂ > ０)ꎬ即 ｙ ＝ ± ａｂ ｘ. ２. 如果双曲线的渐近线为 ｘａ ± ｙ ｂ ＝ ０ 时ꎬ它的 双曲线方程可设为 ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ λ(λ≠０) . 　 　 四、共轭双曲线 １. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线. ２. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. ３. 与ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)具有相同渐近线 的双曲线系方程为 ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ ｋ(ｋ≠０) . 　 　 五、抛物线方程的设法 对顶点在原点ꎬ对称轴为坐标轴的抛物线方 程ꎬ一般可设为 ｙ２ ＝ ａｘ(ａ≠０)或 ｘ２ ＝ ａｙ(ａ≠０) . 　 　 六、抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 Ｆ 的弦长 ｜ ＡＢ ｜ 的一个重要 结论. １. ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)中ꎬ ｜ ＡＢ ｜ ＝ ｘ１ ＋ ｘ２ ＋ ｐ ２. ｙ２ ＝ － ２ｐｘ(ｐ > ０)中ꎬ ｜ ＡＢ ｜ ＝ － ｘ１ － ｘ２ ＋ ｐ. ３. ｘ２ ＝ ２ｐｙ(ｐ > ０)中ꎬ ｜ ＡＢ ｜ ＝ ｙ１ ＋ ｙ２ ＋ ｐ. ４. ｘ２ ＝ － ２ｐｙ(ｐ > ０)中ꎬ ｜ ＡＢ ｜ ＝ － ｙ１ － ｙ２ ＋ ｐ. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 要点专项突破 要点一 圆锥曲线的定义及标准方程 　 　 １. 求圆锥曲线方程的常用方法 (１)直接法:动点满足的几何条件本身就是 几何量的等量关系ꎬ只需把这种关系“翻译”成含 ｘꎬｙ 的等式就得到曲线的轨迹方程.