3.3.1 抛物线及其标准方程(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

　 　 　 ３. ３　 抛物线 ３. ３. １　 抛物线及其标准方程 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 了解抛物线的定义及焦点、准线的概念. ２. 掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 学法解读 １. 结合教材实例掌握抛物线的定义. (数学抽象) ２. 掌握抛物线标准方程中参数 ｐ 的几何意义ꎬ会求抛物线的标准方程. (数学运算) ３. 通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导ꎬ提高用坐标法解决几何问题的能力. (数学运算) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 抛物线的定义 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 定义:平面内与一定点 Ｆ 和一条定直线 ｌ (不经过点 Ｆ)的　 距离相等　 的点的轨迹. ２. 焦点:定点 Ｆ. ３. 准线:定直线 ｌ. 思考 １:抛物线的定义中ꎬ为什么要加条件 ｌ 不经过点 Ｆ? 　 　 做一做:１. 若动点 Ｐ 到点(３ꎬ０)的距离和它 到直线 ｘ ＝ － ３ 的距离相等ꎬ则动点 Ｐ 的轨迹是 ( Ｂ ) Ａ. 椭圆 Ｂ. 抛物线 Ｃ. 直线　 Ｄ. 双曲线 ２. 平面内到点 Ａ(２ꎬ３)和直线 ｌ:ｘ ＋ ２ｙ － ８ ＝ ０ 距离相等的点的轨迹是 ( Ａ ) Ａ. 直线　 Ｂ. 抛物线 Ｃ. 椭圆　 Ｄ. 圆 知识点 ２ 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 思考 ２:抛物线的标准方程中 ｐ(ｐ > ０)的几何 意义是什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 091 　 　 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) (１)抛物线 ｙ２ ＝ － ２ｐｘ(ｐ > ０)中 ｐ 是焦点到准 线的距离. ( √ ) (２)方程 ｘ２ ＝ ２ａｙ(ａ≠０)表示开口向上的抛 物线. ( × ) (３)抛物线 ｙ２ ＝ １４ ｘ 的准线方程为 ｘ ＝ １ ８ . ( × ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ 求下列各条抛物线的焦点坐标和 准线方程: (１)ｙ２ ＝ － １２ｘꎻ(２)３ｘ２ － ４ｙ ＝ ０ꎻ(３)ｘ ＝ ３２ｙ２ꎻ (４)ｙ２ ＝ ａｘ(ａ≠０) . [分析] 　 先将所给方程转化为标准方程的 形式ꎬ确定其开口方向ꎬ求出 ｐ 的值ꎬ再写出焦点 坐标和准线方程. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [规律方法] 　 由抛物线方程求焦点与准线 方程的基本方法 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时ꎬ 一般先将所给方程化为标准形式ꎬ由标准方程得 到参数 ｐꎬ从而得焦点坐标和准线方程ꎬ要注意ｐ > ０ꎬ焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定ꎬ系 数为正ꎬ焦点在正半轴ꎻ系数为负ꎬ焦点在负半轴. 对点训练❶ (１)抛物线 ｘ２ ＋ ２ｙ ＝ ０ 的准 线方程为 ( Ｃ ) Ａ. ｘ ＝ １２ Ｂ. ｘ ＝ － １ ２ Ｃ. ｙ ＝ １２ Ｄ. ｙ ＝ － １ ２ (２)抛物线 ｙ ＝ － ｘ２ 的焦点坐标 ( Ｄ ) Ａ. １４ ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ Ｂ. － １４ ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ Ｃ. ０ꎬ １４ æ è ç ö ø ÷ Ｄ. ０ꎬ － １４ æ è ç ö ø ÷ 题型二 求抛物线的标准方程 　 　 典例 ２ ( １ ) 已知动点 Ｍ ( ｘꎬ ｙ ) 满足 ５ (ｘ － １) ２ ＋ ｙ２ ＝ ｜３ｘ