3.2.1 双曲线及其标准方程(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测􀅰固双基 １. 已知中心在原点的椭圆 Ｃ 的右焦点为 Ｆ( １５ꎬ ０)ꎬ直线ｙ ＝ ｘ 与椭圆的一个交点的横坐标为 ２ꎬ 则椭圆方程为 ( Ｃ ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ. ｘ ２ １６ ＋ ｙ ２ ＝ １ Ｂ. ｘ２ ＋ ｙ ２ １６ ＝ １ Ｃ. ｘ ２ ２０ ＋ ｙ２ ５ ＝ １ Ｄ. ｘ２ ５ ＋ ｙ２ ２０ ＝ １ ２. 已知直线 ｌ:ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０ꎬ椭圆ｘ ２ ４ ＋ ｙ ２ ＝ １ꎬ则直线 与椭圆的位置关系是 ( Ａ ) Ａ. 相离　 　 Ｂ. 相切 Ｃ. 相交　 　 Ｄ. 相交或相切 ３. 直线 ｌ:ｘ － ２ｙ ＋ ２ ＝ ０ 过椭圆的左焦点 Ｆ１ 和一个 顶点 Ｂꎬ则该椭圆的离心率为 ( Ｄ ) Ａ. １５ Ｂ. ２ ５ Ｃ. ５ ５ Ｄ. ２ ５ ５ ４. 直线 ｙ ＝ ｘ ＋ １ 被椭圆ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ２ ＝ １ 所截得的弦的 中点坐标是 ( Ｃ ) Ａ. ２３ ꎬ ５ ３ æ è ç ö ø ÷ Ｂ. ４３ ꎬ ７ ３ æ è ç ö ø ÷ Ｃ. － ２３ ꎬ １ ３ æ è ç ö ø ÷ Ｄ. － １３２ ꎬ － １７ ２ æ è ç ö ø ÷ ５. 过椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０)的焦点 Ｆ( ｃꎬ０)的 弦中最短弦长是　 　 . 请同学们认真完成练案[２３] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３. ２　 双曲线 ３. ２. １　 双曲线及其标准方程 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 了解双曲线的实际背景ꎬ经历从具体情境中抽象出双曲线的过程ꎬ双曲线标准方程的推导过程. ２. 掌握双曲线的定义ꎬ标准方程及几何图形. 学法解读 １. 结合教材实例掌握双曲线的定义. (数学抽象) ２. 掌握双曲线的标准方程、几何图形ꎬ会用待定系数法求双曲线的标准方程. (数学运算) ３. 通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导ꎬ提高用坐标法解决几何问题的能力. (数学运算、 逻辑推理) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 双曲线的定义 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 定义:平面内与两个定点 Ｆ１ꎬＦ２ 的距离的 差的　 绝对值 　 等于非零常数(小于 ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ )的 点的轨迹. ２. 定义的集合表示:{Ｍ ｜ ｜ ｜ＭＦ１ ｜ － ｜ＭＦ２ ｜ ｜ ＝ ２ａꎬ０ < ２ａ < ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ } . ３. 焦点:两个　 定点 Ｆ１ꎬＦ２ 　 . ４. 焦 距: 　 两 焦 点 间 　 的 距 离ꎬ 表 示 为 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ . 思考:(１)双曲线定义中ꎬ将“小于 ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ”改 为“等于 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ”或“大于 ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ”的常数ꎬ其他条 件不变ꎬ点的轨迹是什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 082 　 　 　 (２)双曲线的定义中ꎬＦ１ꎬＦ２ 分别为双曲线的 左、右焦点ꎬ若 ｜ ＭＦ１ ｜ － ｜ ＭＦ２ ｜ ＝ ２ａ (常数)ꎬ且 ２ａ < ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ꎬ则点 Ｍ 的轨迹是什么? 　 　 做一做:已知平面上定点 Ｆ１ꎬＦ２及动点 Ｍꎬ命 题甲: ｜ ｜ＭＦ１ ｜ － ｜ＭＦ２ ｜ ｜ ＝ ２ａ(ａ 为常数)ꎬ命题乙: 点 Ｍ 的轨迹是以 Ｆ１ꎬＦ２为焦点的双曲线ꎬ则甲是 乙的 ( Ｂ ) Ａ. 充分条件 Ｂ. 必要条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 知识点 ２ 双曲线标准方程 焦点位置 焦点在 ｘ 轴上 焦点在 ｙ 轴上 图形 标准方程 　 ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １ ( ａ > ０ꎬｂ > ０)　 　 ｙ ２ ａ２ － ｘ ２ ｂ２ ＝ １ ( ａ > ０ꎬｂ > ０)　 焦点 　 ( － ｃꎬ０)ꎬ(ｃꎬ０) (０ꎬ － ｃ)ꎬ(０ꎬｃ) ａꎬｂꎬｃ 的关系 ｃ２ ＝ 　 ａ２ ＋ ｂ２ 　 　 　 做一做:(１)设动点 Ｍ 到点 Ａ(０ꎬ － ５)的距离 与它到点 Ｂ(０ꎬ５)的距离的差等于 ６ꎬ则 Ｍ 点的轨 迹方程是 ( Ｃ ) Ａ. ｘ ２ ９ － ｙ２ １６ ＝ １ 　 Ｂ. ｙ２ ９ － ｘ２ １６ ＝ １ Ｃ. ｙ ２ ９ － ｘ２ １６ ＝ １(ｙ > ０)　 Ｄ. ｘ２ ９ － ｙ２ １６ ＝ １(ｘ > ０) (２)已知 ａ ＝ ５ꎬｃ ＝ １０ꎬ焦点在 ｙ 轴上ꎬ则双曲 线的标准方程为　 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋