3.1.2 椭圆的简单几何性质(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

４. 已知椭圆 ｘ ２ １６ ＋ ｙ２ ９ ＝ １ 的左、右焦点分别为 Ｆ１ꎬ Ｆ２ꎬ过点 Ｆ１ 的直线 ｌ 交椭圆于 ＡꎬＢ 两点ꎬ则 △ＡＢＦ２ 的周长是　 　 　 　 　 . ５. 已知椭圆 ｘ ２ ４９ ＋ ｙ２ ２４ ＝ １ 上一点 Ｐ 与椭圆两焦点 Ｆ１ꎬＦ２连线的夹角为直角ꎬ则 ｜ ＰＦ１ ｜ 􀅰 ｜ ＰＦ２ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[２１] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３. １. ２　 椭圆的简单几何性质 第 １ 课时　 椭圆的简单几何性质 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 掌握椭圆的简单几何性质. ２. 了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响. 学法解读 １. 依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. (数学抽象) ２. 依据几何条件求出椭圆方程ꎬ并利用椭圆方程研究其几何性质. (数学运算) ３. 能综合利用椭圆的几何性质解决相关的问题. (数学运算、逻辑推理) 必备知识􀅰探新知 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 知识点 椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 ｘ 轴上 焦点在 ｙ 轴上 图形 标准 方程 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０) ｙ２ ａ２ ＋ ｘ ２ ｂ２ ＝ １ (ａ > ｂ > ０) 范围 　 － ａ≤ｘ≤ａꎬ － ｂ≤ｙ≤ｂ 　 － ｂ≤ｘ≤ｂꎬ － ａ≤ｙ≤ａ 顶点 Ａ１( － ａꎬ０)ꎬＡ２ ( ａꎬ０)ꎬ Ｂ１(０ꎬ － ｂ)ꎬＢ２(０ꎬｂ) Ａ１(０ꎬ － ａ)ꎬＡ２ (０ꎬａ)ꎬ Ｂ１( － ｂꎬ０)ꎬＢ２(ｂꎬ０) 轴长 短轴长 ＝ 　 ２ｂ　 ꎬ长轴长 ＝ 　 ２ａ　 焦点 ( ± ａ２ － ｂ２ꎬ０) (０ꎬ ± ａ２ － ｂ２) 焦距 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ ＝ ２ ａ２ － ｂ２ 对称性 对称轴:　 ｘ 轴、ｙ 轴　 对称中心:　 原点　 离心率 ｅ ＝ ｃａ ∈　 (０ꎬ１)　 　 　 思考:椭圆上的点到焦点的距离的最大值和 最小值分别是多少? 　 　 做一做:１. 椭圆ｙ ２ ４ ＋ ｘ２ ３ ＝ １ 的长轴长、焦距分 别为 ( Ｂ ) Ａ. ２ꎬ１　 Ｂ. ４ꎬ２ Ｃ. ３ꎬ１　 Ｄ. ２ ３ꎬ２ ２. 已知椭圆ｘ ２ ９ ＋ ｙ２ １６ ＝ １ꎬ则椭圆的离心率 ｅ ＝ 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 076 　 　 　 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 椭圆的主要几何量 　 　 典例 １ 求椭圆 ９ｘ２ ＋ １６ｙ２ ＝ １４４ 的长轴 长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. [分析] 　 由题目可获取以下主要信息:①已 知椭圆的方程ꎻ②研究椭圆的几何性质. 解答本题 可先把方程化成标准形式然后再写出性质. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [规律方法] 　 １. 由椭圆方程讨论其几何性 质的步骤: (１)化椭圆方程为标准形式ꎬ确定焦点在哪 个轴上. (２)由标准形式求 ａ、ｂ、ｃꎬ写出其几何性质. ２. 椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位 置的关系 (１)椭圆的焦点决定椭圆的位置ꎻ (２)椭圆的范围决定椭圆的大小ꎻ (３)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度ꎻ (４)对称性是圆锥曲线的重要性质ꎬ椭圆的 顶点是椭圆与对称轴的交点ꎬ是椭圆上的重要的 特殊点ꎬ在画图时应先确定这些点. 对点训练❶ 设椭圆方程 ｍｘ２ ＋ ４ｙ２ ＝ ４ｍ (ｍ > ０)的离心率为 １２ ꎬ试求椭圆的长轴长和短轴 长、焦点坐标及顶点坐标. 题型二 由椭圆的几何性质求标准方程 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 ２ 求适合下列条件的椭圆的标准方 程. (１)椭圆过点(３ꎬ０)ꎬ离心率 ｅ ＝ ６３ ꎻ (２)在 ｘ 轴上的一个焦点ꎬ与短轴两个端点的 连线互相垂直ꎬ且焦距为 ８. [分析] 　 (１)中由离心率 ｅ ＝ ｃａ ꎬ及 ａ ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ 可