3.1.1 椭圆及其标准方程(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

　 　 　 第三章　 圆锥曲线的方程 ３. １　 椭　 圆 ３. １. １　 椭圆及其标准方程 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程. ２. 掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程. 学法解读 １. 了解圆锥曲线的实际背景ꎬ感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (数学建 模) ２. 掌握椭圆的定义和标准方程. (数学抽象) ３. 会求椭圆的标准方程. (数学运算) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 椭圆的定义 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 定义:平面内与两个定点 Ｆ１ꎬＦ２ 的距离的 和等于　 常数　 (大于 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ )的点的轨迹. ２. 焦点:两个定点 Ｆ１ꎬＦ２ . ３. 焦距:两焦点间的距离 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ . ４. 几何表示:｜ＭＦ１ ｜ ＋ ｜ＭＦ２ ｜ ＝ 　 ２ａ　 (常数)且 ２ａ 　 > 　 ｜Ｆ１Ｆ２ ｜ . 　 　 做一做:(多选)下列说法中ꎬ不正确的是( Ａ ) Ａ. 到点 Ｍ( － ３ꎬ０)ꎬＮ(３ꎬ０)的距离之和等于 ４ 的点的轨迹是椭圆 Ｂ. 到点 Ｍ(０ꎬ － ３)ꎬＮ(０ꎬ３)的距离之和等于 ６ 的点的轨迹是椭圆 Ｃ. 到点 Ｍ( － ３ꎬ０)ꎬＮ(３ꎬ０)的距离之和等于 ８ 的点的轨迹是椭圆 Ｄ. 到点 Ｍ(０ꎬ － ３)ꎬＮ(０ꎬ３)的距离相等的点 的轨迹是椭圆 知识点 ２ 椭圆的标准方程 焦点在 ｘ 轴上 焦点在 ｙ 轴上 标准方程 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０) ｙ ２ ａ２ ＋ ｘ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０) 图形 焦点坐标 Ｆ１( － ｃꎬ０)ꎬＦ２(ｃꎬ０) Ｆ１(０ꎬ － ｃ)ꎬＦ２(０ꎬｃ)　 ａꎬｂꎬｃ 的 关系 　 ｂ２ ＝ ａ２ － ｃ２ 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 073 　 　 思考:能否根据椭圆的标准方程ꎬ判定焦点 位置? 　 　 做一做:１. 若椭圆方程为 ｘ ２ １０ ＋ ｙ２ ６ ＝ １ꎬ则其焦 点在　 　 　 　 　 　 轴上ꎬ焦点坐标为　 　 　 　 　 . ２. 若椭圆的焦距为 ６ꎬａ － ｂ ＝ １ꎬ则椭圆的标准 方程为　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 椭圆的标准方程 　 　 典例 １ 根据下列条件ꎬ求椭圆的标准 方程: (１)两个焦点的坐标分别为( － ４ꎬ０)和(４ꎬ ０)ꎬ且椭圆经过点(５ꎬ０)ꎻ (２)焦点在 ｙ 轴上ꎬ且经过两个点(０ꎬ２)和 (１ꎬ０)ꎻ (３)经过点 Ａ( ３ꎬ － ２)和点 Ｂ( － ２ ３ꎬ１) . [分析] 　 (１)设出焦点在 ｘ 轴上的椭圆的标 准方程ꎬ再根据条件求出 ａꎬｂ 的值ꎬ即可求得方 程ꎻ(２)设出焦点在 ｙ 轴上的椭圆的标准方程ꎬ再 根据条件求出 ａꎬｂ 的值ꎬ即可求得方程ꎻ(３)焦点 位置不确定ꎬ可以分两种情况分别求解ꎬ也可直接设 所求椭圆方程为ｍｘ２ ＋ ｎｙ２ ＝１(ｍ >０ꎬｎ >０ꎬｍ≠ｎ). 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 ２ (１)若方程 ｘ ２ ２５ － ｍ ＋ ｙ２ ｍ ＋ ９ ＝ １ 表 示椭圆ꎬ则实数 ｍ 的取值范围是 ( Ｂ ) Ａ. ( － ９ꎬ２５) Ｂ. ( － ９ꎬ８)∪(８ꎬ２５) Ｃ. (８ꎬ２５) Ｄ. (８ꎬ ＋ ∞ ) (２)若方程 ｘ２ － ３ｍｙ２ ＝ １ 表示焦点在 ｘ 轴上 的椭圆ꎬ则实数 ｍ 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . [规律方法] 　 根据椭圆方程求参数的取值 范围 １. 给出方程ｘ ２ ｍ ＋ ｙ２ ｎ ＝ １ꎬ其表示椭圆的条件是 ｍ > ０ꎬ ｎ > ０ꎬ ｍ≠ｎꎬ ì î í ïï ï 其表示焦点在 ｘ 轴上的椭圆的条件是 ｍ > ｎ >０ꎬ其表示焦点在 ｙ 轴上的椭圆的条件是 ｎ >ｍ >０. ２. 若给出椭圆方程 Ａｘ２ ＋ Ｂｙ２ ＝ Ｃꎬ则