2.5.2 圆与圆的位置关系(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

２. ５. ２　 圆与圆的位置关系 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 了解圆与圆的位置关系. ２. 掌握圆与圆的位置关系的判断方法. ３. 能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 学法解读 １. 掌握圆与圆的位置关系及判定方法. (数学抽象) ２. 能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系. (数学运算) ３. 能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. (逻辑推理) 必备知识􀅰探新知 知识点 两圆的位置关系及其判定 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 几何法:若两圆的半径分别为 ｒ１ꎬｒ２ꎬ两圆连 心线的长为 ｄꎬ则两圆的位置关系如下: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 ｄ 与 ｒ１ꎬｒ２ 的关系 ｄ > 　 ｒ１ ＋ ｒ２ 　 ｄ ＝ 　 ｒ１ ＋ ｒ２ 　 　 ｜ ｒ１ － ｒ２ ｜ < ｄ < ｒ１ ＋ ｒ２ 　 ｄ ＝ ｜ ｒ１ － ｒ２ ｜ ｄ < ｜ ｒ１ － ｒ２ ｜ 　 　 　 ２. 代数法:设两圆的一般方程为 Ｃ１:ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄ１ｘ ＋ Ｅ１ｙ ＋ Ｆ１ ＝０(Ｄ２１ ＋ Ｅ２１ －４Ｆ１ > ０)ꎬ Ｃ２:ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄ２ｘ ＋ Ｅ２ｙ ＋ Ｆ２ ＝０(Ｄ２２ ＋ Ｅ２２ －４Ｆ２ > ０)ꎬ 联立方程得 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄ１ｘ ＋ Ｅ１ｙ ＋ Ｆ１ ＝ ０ꎬ ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄ２ｘ ＋ Ｅ２ｙ ＋ Ｆ２ ＝ ０ꎬ { 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 ２ 组 １ 组 ０ 组 两圆的公共点个数 ２ 个 １ 个 ０ 个 两圆的位置关系 相交　 外切或内切 　 外离或内含 　 　 思考:根据代数法确定两个圆的位置关系时ꎬ 若已知两圆只有一个交点ꎬ能否准确得出两圆的 位置关系? 　 　 做一做: １. 判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打“ × ”) 　 　 (１)如果两个圆的方程组成的方程组只有一 组实数解ꎬ则两圆外切. ( × ) (２)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之 和ꎬ则两圆相交. ( × ) (３)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元 一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. ( × ) ２. 圆 Ｏ１:(ｘ ＋ ２)２ ＋ (ｙ － ２)２ ＝ １ 和圆 Ｏ２:(ｘ － ２)２ ＋ (ｙ －５)２ ＝１６ 的位置关系是　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 判断两圆的位置关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ 已知圆 Ｃ１:ｘ２ ＋ ｙ２ － ２ａｘ － ２ｙ ＋ ａ２ － １５ ＝ ０(ａ > ０)ꎬ圆 Ｃ２:ｘ２ ＋ ｙ２ － ４ａｘ － ２ｙ ＋ ４ａ２ ＝ ０ (ａ > ０) . 试求 ａ 为何值时ꎬ两圆 Ｃ１ꎬＣ２ 的位置关 系为: (１)相切ꎻ(２)相交ꎻ(３)外离ꎻ(４)内含? [分析] 　 先求出圆心距ꎬ与两半径的和或差 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 066 　 　 　 比较求出ａ的值. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [规律方法] 　 判断两圆的位置关系的两种 方法 (１)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心 距作比较ꎬ得到两圆的位置关系. (２)代数法:把两圆位置关系的判定完全转 化为代数问题ꎬ转化为方程组的解的组数问题. 对点训练❶ (１)圆(ｘ ＋ ２) ２ ＋ ｙ２ ＝ ４ 与圆 (ｘ － ２) ２ ＋ (ｙ － １) ２ ＝ ９ 的位置关系为 ( Ｂ ) Ａ. 内切 Ｂ. 相交 Ｃ. 外切 Ｄ. 相离 (２)到点 Ａ( － １ꎬ２)ꎬＢ(３ꎬ － １)的距离分别为 ３ 和 １ 的直线有　 　 　 　 　 　 条. 题型二 两圆相切问题 　 　 典例 ２ 求与圆 ｘ２ ＋ ｙ２ －２ｘ ＝０ 外切且与直 线 ｘ ＋ ３ｙ ＝０ 相切于点Ｍ(３ꎬ － ３)的圆的方程. [分析] 　 设圆的方程ꎬ利用两圆外切和直线 与圆相切建立