2.4.2 圆的一般方程(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

２. ４. ２　 圆的一般方程 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 掌握圆的一般方程及其特点. ２. 会将圆的一般方程化为圆的标准方程. ３. 能运用待定系数法确定圆的方程. 学法解读 １. 理解圆的一般方程及其特点. (数学抽象) ２. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化. (数学运算) ３. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. (逻辑推理) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 方程 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０ 表示 的图形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　方程 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０ 变形为: ｘ ＋ Ｄ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ｙ ＋ Ｅ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ Ｄ ２ ＋ Ｅ２ － ４Ｆ ４ ꎬ (１)当 Ｄ２ ＋ Ｅ２ － ４Ｆ > ０ 时ꎬ方程表示圆ꎬ圆心 为　 　 　 　 　 ꎬ半径为　 　 　 　 　 . (２ ) 当 Ｄ２ ＋ Ｅ２ － ４Ｆ ＝ ０ 时ꎬ方程表示点 　 　 　 　 　 . (３)当 Ｄ２ ＋ Ｅ２ － ４Ｆ < ０ 时ꎬ方程不表示任何 图形. 思考 １:根据圆的一般方程怎么求圆心和半径? 　 　 做一做:圆 ｘ２ ＋ ｙ２ －６ｘ ＝０ 的圆心坐标是　 　 　 　 　 ꎬ半径长是　 　 　 　 　 　 . 知识点 ２ 圆的一般方程 　 　 (１)方程:当　 Ｄ２ ＋ Ｅ２ － ４Ｆ > ０　 时ꎬ方程ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０ 称为圆的一般方程. (２)本质:圆的方程的另一种表示形式ꎬ更具 有方程特征. 思考 ２:(１)圆的一般方程有什么特征? (２)如果点 Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)在圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０ 内ꎬ那么应满足什么关系式? 圆外呢? 　 　 做一做:若方程 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝ ０ 表示 以(２ꎬ － ４)为圆心ꎬ４ 为半径的圆ꎬ则 Ｆ ＝ 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 圆的一般方程的概念 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ (１) (２０２３􀅰合肥高二检测)若方 程 ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ２ｘ ＋ ４ｙ ＋ ｍ ＝ ０ 表示的曲线是圆ꎬ则 ｍ 的取值范围为 ( Ｂ ) Ａ. ( － ∞ ꎬ２０)　 　 Ｂ. ( － ∞ ꎬ５) Ｃ. (５ꎬ ＋ ∞ )　 　 Ｄ. (２０ꎬ ＋ ∞ ) (２)已知 ａ∈Ｒꎬ方程 ａ２ ｘ２ ＋ (２ － ａ) ｙ２ ＋ ８ｘ － ４ｙ － ５ａ ＝ ０ 表示圆ꎬ则圆心坐标是　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 060 　 　 　 　 　 [规律方法] 　 圆的一般方程的特点 (１)ｘ２ꎬｙ２的系数相等ꎬ且不为 ０ꎻ (２)没有 ｘｙ 项ꎻＤ２ ＋ Ｅ２ － ４Ｆ > ０. 可以根据这些特点ꎬ列出相应的条件解题. 　 　 对点训练❶ (１)圆 ｘ２ ＋ ｙ２ － ４ｘ ＋ ２ｙ ＋ ４ ＝ ０ 的半径和圆心坐标分别为 ( Ｄ ) Ａ. ｒ ＝ １ꎬ( － ２ꎬ１) Ｂ. ｒ ＝ ２ꎬ( － ２ꎬ１) Ｃ. ｒ ＝ ２ꎬ(２ꎬ － １) Ｄ. ｒ ＝ １ꎬ(２ꎬ － １) (２)若方程 ｘ２ ＋ ｙ２ － ｘ ＋ ｙ ＋ ｍ ＝ ０ 表示圆ꎬ则 实数 ｍ 的取值范围是 ( Ａ ) Ａ. ｍ < １２ Ｂ. ｍ > １ ２ Ｃ. ｍ < ０ Ｄ. ｍ≤１２ 题型二 求圆的一般方程 　 　 典例 ２ 求圆心在直线 ｘ － ２ｙ － ３ ＝ ０ 上ꎬ且 过点 Ａ(２ꎬ － ３)ꎬＢ( － ２ꎬ － ５)的圆的方程. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�