2.1.1 倾斜角与斜率(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

第二章　 直线和圆的方程 ２. １　 直线的倾斜角与斜率 ２. １. １　 倾斜角与斜率 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 在平面直角坐标系中ꎬ结合具体图形ꎬ探索确定直线位置的几何要素. ２. 理解直线的倾斜角和斜率的概念ꎬ经历用代数方法刻画直线斜率的过程. ３. 掌握过两点的直线斜率的计算公式. 学法解读 １. 在平面直角坐标系中ꎬ结合具体图形ꎬ探索确定直线位置的几何要素. (数学抽象) ２. 理解直线的倾斜角和斜率的概念. (数学抽象) ３. 掌握倾斜角和斜率之间的关系. (逻辑推理) ４. 掌握过两点的直线斜率的计算公式. (数学运算) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 直线的倾斜角 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 倾斜角的定义 (１)当直线 ｌ 与 ｘ 轴相交时ꎬ我们以 ｘ 轴为基 准ꎬｘ 轴　 正向　 与直线 ｌ 向上的方向之间所成的 角 α 叫做直线 ｌ 的倾斜角. (２)当直线 ｌ 与 ｘ 轴平行或重合时ꎬ规定它的 倾斜角为 ０°. ２. 直线的倾斜角 α 的取值范围为　 ０°≤α < １８０°　 . 　 　 思考 １:任何一条直线都有倾斜角吗? 不同 的直线其倾斜角一定不相同吗? 　 　 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) 　 　 (１)与 ｘ 轴垂直的直线ꎬ其倾斜角为 ９０°. ( √ ) (２)与 ｘ 轴平行的直线ꎬ其倾斜角不存在. ( × ) (３)不存在倾斜角相同的直线. ( × ) 知识点 ２ 直线的斜率 　 　 １. 直线的斜率 把一条直线的倾斜角 α 的　 正切值　 叫做这 条直线的斜率ꎬ斜率常用小写字母 ｋ 表示ꎬ即 ｋ ＝ 　 ｔａｎ α　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 036 　 　 　 　 　 ２. 斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α ＝ ０° ０° < α < ９０° α ＝ ９０° ９０° < α < １８０° 斜率 (范围) ｋ ＝ ０ ｋ > ０ 不存在 ｋ < ０ 　 　 ３. 过两点的直线的斜率公式 过两点 Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)(ｘ１≠ｘ２)的直线 的斜率公式为 ｋ ＝ 　 　 　 　 　 . 思考 ２:当直线的倾斜角由 ０°逐渐增大到 １８０°时ꎬ其斜率如何变化? 　 　 做一做:直线 ｌ 过(１ꎬ０)和(１ꎬ２)两点ꎬ则其倾 斜角和斜率分别是 ( Ｃ ) Ａ. ４５°ꎬ１　 　 Ｂ. １３５°ꎬ － １ Ｃ. ９０°ꎬ不存在　 　 Ｄ. １８０°ꎬ不存在 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 直线的倾斜角、斜率的概念 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ (１)下列说法正确的是 ( Ａ ) ①直线倾斜角的范围是[０ꎬπ)ꎻ ②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等ꎻ ③任何一条直线都有斜率ꎬ但不一定有倾 斜角ꎻ ④任何一条直线都有倾斜角和斜率. Ａ. ①②　 　 Ｂ. ①④ Ｃ. ①②④　 　 Ｄ. ①②③ (２)(多选)设直线 ｌ 过坐标原点ꎬ它的倾斜角 为 αꎬ如果将 ｌ 绕坐标原点按逆时针方向旋转 ４５°ꎬ 得到直线 ｌ１ꎬ那么 ｌ１ 的倾斜角可能为 ( Ａ ) Ａ. α ＋ ４５° Ｂ. α － １３５° Ｃ. １３５° － α Ｄ. α － ４５° 　 　 [规律方法] 　 直线倾斜角、斜率的概念的几 个关注点 (１)倾斜角越大ꎬ直线的倾斜程度越大ꎻ (２)当倾斜角是锐角时ꎬ斜率大于 ０ꎬ当倾斜 角是钝角时ꎬ斜率小于 ０ꎻ (３)根据直线的旋转、图形的角度关系可以 求倾斜角. 对点训练❶ (１)若直线 ｌ 向上的方向与 ｙ 轴的正方向成 ３０°角ꎬ则直线 ｌ 的倾斜角为 ( Ｄ ) 　 　 Ａ. ３０°　 　 　 Ｂ. ６０° Ｃ. ３０°或 １５０°　 Ｄ. ６０°或 １２０° (２)已知直线 ｌ１ 的倾斜角为 α１ꎬ则 ｌ１ 关于 ｘ 轴对称的直线 ｌ２ 的倾斜角 α２ 为　 　 　 　 　 　 . 题型二 已知两点坐标求倾斜角和斜率 　 　 典例 ２ (１)过两点 Ａ(４ꎬｙ)ꎬＢ(２ꎬ － ３)的 直线的倾斜角是 １３５°ꎬ则 ｙ 等于 ( Ｄ ) Ａ. １　 Ｂ. ５ Ｃ. － １　 Ｄ. － ５ (２)已知直线 ｌ 经过点 Ｐ(３ꎬｍ)和点 Ｑ(ｍꎬ － ２)ꎬ直线 ｌ 的方向向量为(２ꎬ４)ꎬ则直线 ｌ 的斜 率为　 ２