1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

１. ４. ２　 用空间向量研究距离、夹角问题 第 １ 课时　 距离问题 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导. ２. 了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想. 学法解读 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. (直观 想象、数学运算) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 点 Ｐ 到直线 ｌ 的距离 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　已知直线 ｌ 的单位方向向量为 ｕꎬＡ 是直线 ｌ 上的定点ꎬＰ 是直线 ｌ 外一点ꎬ设向量ＡＰ→ ＝ ａ 在直 线 ｌ 上的投影向量为ＡＱ→ ＝ (ａ􀅰ｕ)􀅰ｕꎬ则点 Ｐ 到 直线 ｌ 的距离为　 ａ２ － (ａ􀅰ｕ) ２ 　 (如图) . 　 　 思考 １:点到直线的距离与两条平行直线之 间的距离有什么关系? 做一做:已知直线 ｌ 过定点 Ａ(２ꎬ３ꎬ１)ꎬ且方向 向量为 ｓ ＝ (０ꎬ１ꎬ１)ꎬ则点 Ｐ(４ꎬ３ꎬ２)到 ｌ 的距离 ｄ 为 ( Ａ ) Ａ. ３ ２２ 　 　 　 Ｂ. ２ ２ Ｃ. １０２ Ｄ. ２ 知识点 ２ 点 Ｐ 到平面 α 的距离 　 　 设平面 α 的法向量为 ｎꎬＡ 是平面 α 内的定点ꎬＰ 是平面 α 外一点ꎬ则点 Ｐ 到平面 α 的距离为　 　 　 　 　 　 (如图). 思考 ２:怎样利用向量方法求直线到直线的 距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离? 　 　 做一做:已知四面体 ＡＢＣＤ 的顶点分别为 Ａ(２ꎬ３ꎬ１)ꎬＢ(１ꎬ０ꎬ２)ꎬＣ(４ꎬ３ꎬ － １)ꎬＤ(０ꎬ３ꎬ － ３)ꎬ 则点 Ｄ 到平面 ＡＢＣ 的距离为　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 　 　 　 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 利用空间向量求点线距 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ 已知直三 棱 柱 ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中ꎬ ＡＡ１ ＝ １ꎬ ＡＢ ＝ ４ꎬＢＣ ＝ ３ꎬ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ求 点 Ｂ 到直线 Ａ１Ｃ１ 的距离. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [规律方法] 　 用向量法求点到直线的距离 时需注意以下几点: (１)不必找点在直线上的垂足以及垂线段. (２)在直线上可以任意选点ꎬ但一般选较易 求得坐标的特殊点. (３)直线的方向向量可以任取ꎬ但必须保证 计算正确. 对点训练❶ 四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中ꎬ四边形 ＡＢＣＤ 为正方形ꎬＰＡ⊥平面 ＡＢＣＤꎬＰＡ ＝ ＡＢ ＝ ２ꎬＥꎬ Ｆ 分别为 ＰＢꎬＰＤ 的中点ꎬ则 Ｐ 到直线 ＥＦ 的距离 为 ( Ｄ ) Ａ. １　 　 　 Ｂ. ２２ Ｃ. ３２ Ｄ. ６ ２ 题型二 利用空间向量求点面距、线面距 　 　 典例 ２ 如图ꎬ已知正方形 ＡＢＣＤ 的边长为 １ꎬＰＤ⊥平面 ＡＢＣＤꎬ且 ＰＤ ＝ １ꎬＥꎬＦ 分别为 ＡＢꎬＢＣ 的中点. (１)求点 Ｄ 到平面 ＰＥＦ 的距离ꎻ (２)求直线 ＡＣ 到平面 ＰＥＦ 的距离. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [规律方法] 　 用向量法求 点面距离的步骤 (１) 建系:建立恰当的空间 直角坐标系. (２)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标. (３)求向量:求出相关向量的坐标