1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测􀅰固双基 １. 下列向量中与向量 ａ ＝ (０ꎬ１ꎬ０)平行的向量是 ( Ｂ ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ. ｂ ＝ (１ꎬ０ꎬ０) Ｂ. ｃ ＝ (０ꎬ － １ꎬ０) Ｃ. ｄ ＝ ( － １ꎬ － １ꎬ１) Ｄ. ｅ ＝ (０ꎬ０ꎬ － １) ２. 已知向量 ａ ＝ (１ꎬ０ꎬ１)ꎬｂ ＝ (２ꎬ０ꎬ － ２)ꎬ若(ｋａ ＋ ｂ)􀅰(ａ ＋ ｋｂ) ＝ ２ꎬ则 ｋ 的值等于 ( Ｄ ) Ａ. １ Ｂ. ３５ Ｃ. ２ ５ Ｄ. １ ５ ３. 设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 Ｏꎬ球面上有两点 Ａ(１ꎬ２ꎬ２)ꎬＢ(２ꎬ － ２ꎬ１)ꎬ则 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ( Ｃ ) Ａ. １８ Ｂ. １２ Ｃ. ３ ２ Ｄ. ２ ３ ４. 已知空间三点 Ｏ(０ꎬ０ꎬ０)ꎬＡ( － １ꎬ１ꎬ０)ꎬＢ(０ꎬ１ꎬ １)ꎬ若直线 ＯＡ 上的一点 Ｈ 满足 ＢＨ⊥ＯＡꎬ则点 Ｈ 的坐标为　 　 　 　 　 　 　 . ５. 已知空间三点 Ａ(１ꎬ１ꎬ１)ꎬＢ( －１ꎬ０ꎬ４)ꎬＣ(２ꎬ －２ꎬ ３)ꎬ则ＡＢ→与ＣＡ→的夹角的大小是　 　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[５] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １. ４　 空间向量的应用 １. ４. １　 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第 １ 课时　 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 能用向量语言描述直线和平面. ２. 理解直线的方向向量与平面的法向量. ３. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 学法解读 １. 掌握直线的方向向量ꎬ平面的法向量的概念. (数学抽象) ２. 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系. (直观想象) ３. 会用待定系数法求平面的法向量. (数学运算) ４. 熟练掌握用方向向量ꎬ法向量证明线线、线面、面面间的平行关系. (数学运算、直观想象) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 空间中点的位置向量 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　如图ꎬ在空间中ꎬ我们取一 定点 Ｏ 作为基点ꎬ那么空间中任 意一点 Ｐ 就可以用向量ＯＰ→来表 示. 我们把向量ＯＰ→称为点 Ｐ 的位置向量. 　 　 做一做:在空间直角坐标系 Ｏｘｙｚ 中ꎬ点 Ａ(１ꎬ ２ꎬ３)的位置向量是　 　 　 　 　 　 . 知识点 ２ 空间中直线的向量表示式 　 　 直线 ｌ 的方向向量为 ａꎬ且 过点 Ａ. 如图ꎬ取定空间中的任意 一点 Ｏꎬ可以得到点 Ｐ 在直线 ｌ 上的充要条件是存在实数 ｔꎬ使 ＯＰ→ ＝ ＯＡ→ ＋ ｔ 　 　 　 　 　 ꎬ ① 把ＡＢ→ ＝ ａ 代入①式得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 018 　 　 　 ＯＰ→ ＝ ＯＡ→ ＋ ｔ 　 　 　 　 　 ꎬ ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 思考 １:直线的方向向量是不是唯一的? 　 　 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) (１)零向量不能作为直线的方向向量. ( √ ) (２) 若向量 ｖ 是直线 ｌ 的方向向量ꎬ则 λｖ (λ≠０)也是直线 ｌ 的方向向量. ( √ ) (３)直线 ｌ 的方向向量都平行ꎬ且方向相同. ( × ) 知识点 ３ 空间中平面的向量表示式 　 　 １. 平面 ＡＢＣ 的向量表示式 空间一点 Ｐ 位于平面 ＡＢＣ 内的充要条件是 存在实数 ｘꎬｙꎬ使ＯＰ→ ＝ ＯＡ→ ＋ 　 　 　 　 　 　 　 . ③ 我们把③式称为空间平面 ＡＢＣ 的向量表 示式. ２. 平面的法向量 如图ꎬ若直线 ｌ⊥αꎬ取直线 ｌ 的　 方向向量 ａ　 ꎬ我们称 ａ 为 平面 α 的法向量ꎻ过点 Ａ 且以 ａ 为法向量的平面 完全确定ꎬ可以表示为集合{Ｐ ｜ ａ􀅰ＡＰ→ ＝ ０} . 思考 ２:平面的法向量是不是唯一的? 　 　 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) (１)平面 α 的所有法向量都平行ꎬ且同向. ( × ) (２)若 ｎ 是平面 α 的一个法向量ꎬ则 λｎ(λ∈ Ｒ)也是平面 α 的一个法向量. ( × ) (３)向量 ｉ ＝ (１ꎬ０ꎬ０)是坐标平面 Ｏｙｚ 的一个 法向量. ( √ ) 知识点 ４ 线线平行的向量表示 　 　 设 ｕ１ꎬｕ２ 分别是直线 ｌ１ꎬｌ２ 的方向向量ꎬ则 ｌ１∥ｌ２⇔ｕ１∥ｕ２⇔∃λ∈Ｒꎬ使得　 ｕ１ ＝ λｕ２ 　 . 知识点 ５ 线面平行的向量表示 　 　 设 ｕ 是直线 ｌ 的方向向量ꎬｎ 是平面 α