1.3.2 空间向量运算的坐标表示(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

　 　 　 ∴ ＡＡ１ → ＝ (０ꎬ０ꎬ２)ꎬＡＢ１ → ＝ (１ꎬ０ꎬ２)ꎬＡＣ１ → ＝ (０ꎬ １ꎬ２). [辨析] 　 在建系时应该注意三条坐标轴所 在的直线应当两两垂直ꎬ若图中没有建系的环境ꎬ 则应根据已知条件ꎬ通过作辅助线来创造合适的 建系环境. 　 　 [正解] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 课堂检测􀅰固双基 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 如图所示ꎬ正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１ Ｂ１ Ｃ１Ｄ１ 的棱长为 １ꎬ则点 Ｂ１的坐标是 ( Ｃ ) Ａ. (１ꎬ０ꎬ０)　 　 Ｂ. (１ꎬ０ꎬ１) Ｃ. (１ꎬ１ꎬ１)　 　 Ｄ. (１ꎬ１ꎬ０) ２. 在空间直角坐标系中ꎬ点 Ｐ( － １ꎬ － ２ꎬ － ３)到平 面 Ｏｙｚ 的距离是 ( Ａ ) Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. １４ ３. 点 Ｐ(１ꎬ１ꎬ１)关于 Ｏｘｙ 平面的对称点 Ｐ１ 的坐标 为　 　 　 　 　 　 ꎬ点 Ｐ 关于 ｚ 轴的对称点 Ｐ２ 的 坐标为　 　 　 　 　 　 . ４. 在长方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬ若 Ｄ(０ꎬ０ꎬ０)ꎬ Ａ(４ꎬ０ꎬ０)ꎬＢ(４ꎬ２ꎬ０)ꎬＡ１(４ꎬ０ꎬ３)ꎬ则向量ＡＣ１ → 的 坐标为　 　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[４] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １. ３. ２　 空间向量运算的坐标表示 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示. ２. 掌握空间向量的数量积的坐标表示. 学法解读 １. 会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算) ２. 掌握空间向量运算的坐标表示ꎬ并会判断两个向量是否共线或垂直. (逻辑推理、数学运算) ３. 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式ꎬ并能运用这些公式解决简单几何体中的问 题. (逻辑推理、数学运算) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 空间向量的坐标运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　设 ａ ＝ (ａ１ꎬａ２ꎬａ３)ꎬｂ ＝ (ｂ１ꎬｂ２ꎬｂ３)ꎬ有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ａ ＋ ｂ ａ ＋ ｂ ＝ 　 (ａ１ ＋ ｂ１ꎬａ２ ＋ ｂ２ꎬａ３ ＋ ｂ３) 减法 ａ － ｂ ａ － ｂ ＝ 　 (ａ１ － ｂ１ꎬａ２ － ｂ２ꎬａ３ － ｂ３) 数乘 λａ λａ ＝ 　 (λａ１ꎬλａ２ꎬλａ３)ꎬλ∈Ｒ 数量积 ａ􀅰ｂ ａ􀅰ｂ ＝ 　 ａ１ｂ１ ＋ ａ２ｂ２ ＋ ａ３ｂ３ 　 　 做一做:设{ ｉꎬｊꎬｋ}是空间向量的一个单位正 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 015 交基底ꎬａ ＝ ２ｉ － ４ｊ ＋ ５ｋꎬｂ ＝ ｉ ＋ ２ｊ － ３ｋꎬ则 ａ ＋ ｂ 的 坐标是　 　 　 　 　 　 . 知识点 ２ 空间向量的平行、垂直、模与夹角公 式的坐标表示 设 ａ ＝ (ａ１ꎬａ２ꎬａ３)ꎬｂ ＝ (ｂ１ꎬｂ２ꎬｂ３)ꎬ则 平行(ａ∥ｂ) ａ∥ｂ(ｂ≠０)⇔ａ ＝ λｂ⇔　 ａ１ ＝ λｂ１ꎬａ２ ＝ λｂ２ꎬａ３ ＝ λｂ３(λ∈Ｒ)　 垂直(ａ⊥ｂ) ａ⊥ｂ⇔ａ􀅰ｂ ＝０⇔　 ａ１ｂ１ ＋ ａ２ｂ２ ＋ ａ３ｂ３ ＝０　 (ａꎬｂ 均为非零向量) 模 ｜ ａ ｜ ＝ ａ􀅰ａ ＝ 　 　 　 　 　 　 夹角公式 ｃｏｓ‹ａꎬｂ› ＝ ａ􀅰ｂ｜ ａ ｜􀅰 ｜ ｂ ｜ ＝ ａ１ｂ１ ＋ ａ２ｂ２ ＋ ａ３ｂ３ ａ２１ ＋ ａ ２ ２ ＋ ａ ２ ３ ｂ ２ １ ＋ ｂ ２ ２ ＋ ｂ ２ ３ 　 　 思考 １:若 ａ ＝ (ａ１ꎬａ２ꎬａ３)ꎬｂ ＝ (ｂ１ꎬｂ２ꎬｂ３)ꎬ则 ａ∥ｂ 一定有 ａ１ ｂ１ ＝ ａ２ ｂ２ ＝ ａ３ ｂ３ 成立吗? 　 　 做一做:已知向量 ａ ＝ (１ꎬ２ꎬ － １)ꎬｂ ＝ (１ꎬ － １ꎬ － １)ꎬ则 ａ 与 ｂ 的夹角为 ( Ａ ) 　 　 Ａ. ９０°　 　 Ｂ. ６０° Ｃ. ４５°　 　 Ｄ. ３０° 知识点 ３ 空间两点间的距离公式 　 　 设Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２)是空间中任意两点ꎬ 则 ｜Ｐ１Ｐ２ ｜ ＝ ｜Ｐ１Ｐ２ → ｜ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 . 思考