1.2 空间向量基本定理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

　 　 　 ３. 已知 ａ ＝ ３ｐ － ２ｑꎬｂ ＝ ｐ ＋ ｑꎬｐ 和 ｑ 是相互垂直的 单位向量ꎬ则 ａ􀅰ｂ ＝ ( Ａ ) Ａ. １　 　 　 　 　 Ｂ. ２ Ｃ. ３　 Ｄ. ４ ４. 若 ａꎬｂꎬｃ 为空间两两夹角都是 ６０°的三个单位 向量ꎬ则 ｜ ａ － ｂ ＋ ２ｃ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 　 . ５. 如 图ꎬ 在 长 方 体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中ꎬ设 ＡＤ ＝ ＡＡ１ ＝１ꎬ ＡＢ ＝２ꎬＰ 是 Ｃ１Ｄ１ 的中点ꎬ则 Ｂ１Ｃ → 与Ａ１Ｐ → 所成角的大小为 　 　 　 　 　 ꎬＢ１Ｃ →􀅰Ａ１Ｐ → ＝ 　 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[２] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １. ２　 空间向量基本定理 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 了解空间向量基本定理及其意义. ２. 掌握空间向量的正交分解. 学法解读 １. 掌握空间向量基本定理. (数学抽象) ２. 了解空间向量正交分解的含义. (数学抽象) ３. 会用空间向量基本定理解决有关问题. (逻辑推理) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 空间向量基本定理 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　如果三个向量 ａꎬｂꎬｃ 　 不共面　 ꎬ那么对任 意一个空间向量 ｐꎬ存在唯一的有序实数组(ｘꎬｙꎬ ｚ)ꎬ使得 ｐ ＝ 　 ｘａ ＋ ｙｂ ＋ ｚｃ　 . 我们把{ａꎬｂꎬｃ}叫做空间的一个 　 基底 　 ꎬ ａꎬｂꎬｃ 都叫做基向量. 思考 １:零向量能否作为一个基向量? 为 什么? 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) 　 　 (１)空间向量的基底是唯一的. ( × ) (２)若 ａꎬｂꎬｃ 是空间向量的一个基底ꎬ则 ａꎬ ｂꎬｃ 均为非零向量. ( √ ) (３)已知 ＡꎬＢꎬＭꎬＮ 是空间四点ꎬ若ＢＡ→ꎬＢＭ→ꎬ ＢＮ→不能构成空间的一个基底ꎬ则 ＡꎬＢꎬＭꎬＮ 共面. ( √ ) (４)若{ａꎬｂꎬｃ}是空间的一个基底ꎬ且存在实 数 ｘꎬｙꎬｚ 使得 ｘａ ＋ ｙｂ ＋ ｚｃ ＝ ０ꎬ则有 ｘ ＝ ｙ ＝ ｚ ＝ ０. ( √ ) 知识点 ２ 空间向量的正交分解 　 　 １. 单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量　 两两垂 直　 ꎬ且长度都是 　 １ 　 ꎬ那么这个基底叫做单位 正交基底ꎬ常用{ ｉꎬｊꎬｋ}表示. ２. 向量的正交分解 由空间向量基本定理可知ꎬ对空间任一向量 ａꎬ均可以分解为三个向量 ｘｉꎬｙｊꎬｚｋ 使得 ａ ＝ ｘｉ ＋ ｙｊ ＋ ｚｋ. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂 直的向量ꎬ叫做把空间向量进行正交分解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 009 　 　 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) 　 　 (１)空间的单位正交基底是唯一的. ( × ) (２)单位正交基底中每一个基向量是单位向 量. ( √ ) (３)对于单位正交基底{ ｉꎬｊꎬｋ}ꎬ２ｊ ＝ ０ｉ ＋ ２ｊ ＋ ０ｋ. ( √ ) 知识点 ３ 证明平行、共线、共面问题 　 　 (１)对于空间任意两个向量 ａꎬｂ(ｂ≠０)ꎬａ∥ｂ 的充要条件是存在唯一实数 λꎬ使　 ａ ＝ λｂ　 . (２)如果两个向量 ａꎬｂ 不共线ꎬ那么向量 ｐ 与 向量 ａꎬｂ 共面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(ｘꎬｙ)ꎬ使　 ｐ ＝ ｘａ ＋ ｙｂ　 . 思考 ２:怎样利用向量共线、向量共面解决几 何中的证明平行、共线、共面问题? 知识点 ４ 求夹角、证明垂直问题 　 　 (１)θ 为 ａꎬｂ 的夹角ꎬ则　 　 　 　 　 　 　 　 . (２)若 ａꎬｂ 是非零向量ꎬ则 ａ⊥ｂ⇔　 ａ􀅰ｂ ＝ ０　 . 思考 ３:怎样利用向量的数量积解决几何中 的求夹角、证明垂直问题? 知识点 ５ 求距离(长度)问题 　 　 ｜ ａ ｜ ＝ ａ􀅰ａ( ｜ ＡＢ→ ｜ ＝ ＡＢ→􀅰ＡＢ→) . 思考 ４:怎样利用向量的数量积解决几何中 的求距离(长度)问题? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 基底的判断