1.1.2 空间向量的数量积运算(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

１. １. ２　 空间向量的数量积运算 素养目标􀅰定方向 课程标准 掌握空间向量的数量积运算. 学法解读 １. 理解空间两个向量夹角的定义. (直观想象) ２. 掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律ꎬ会求空间向量的数量积. (数学运算) ３. 能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题. (数学运算) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 空间向量的夹角 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 定义:已知两个非零向量 ａꎬｂꎬ在空间任取 一点 Ｏꎬ作ＯＡ→ ＝ ａꎬＯＢ→ ＝ ｂꎬ则　 ∠ＡＯＢ 　 叫做向量 ａꎬｂ 的夹角ꎬ记作‹ａꎬｂ› . ２. 夹角的范围: 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是[０ꎬ π].特别地ꎬ当 θ ＝０ 时ꎬ两向量　 同向共线　 ꎻ当 θ ＝ 　 π　 时ꎬ两向量 　 反向共线 　 ꎬ所以若 ａ∥ｂꎬ则 ‹ａꎬｂ› ＝ ０ 或 πꎻ当‹ａꎬｂ› ＝ π２ 时ꎬ两向量垂直　 ꎬ记 作　 ａ⊥ｂ　 . 做一做:如图所示ꎬ在正方体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬ 　 　 (１)‹ＡＢ→ꎬＡ１Ｃ１ →› ＝ 　 　 　 　 　 ꎻ (２)‹ＡＢ→ꎬＣ１Ａ１ →› ＝ 　 　 　 　 　 ꎻ (３)‹ＡＢ→ꎬＢ１Ａ１ →› ＝ 　 　 　 　 　 . 知识点 ２ 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量 ａꎬｂꎬ则 ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ‹ａꎬｂ› 叫做 ａꎬｂ 的数量积ꎬ记作 ａ􀅰ｂ. 即 ａ􀅰ｂ ＝ 　 ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ｃｏｓ‹ａꎬｂ›　 规定:零向量与任何向量的数量积都为 ０ 性质 ①ａ⊥ｂ⇔　 ａ􀅰ｂ ＝ ０　 ②ａ􀅰ａ ＝ ａ２ ＝ ｜ ａ ｜ ２ 运算律 ①(λａ)􀅰ｂ ＝ λ(ａ􀅰ｂ)ꎬλ∈Ｒ ②ａ􀅰ｂ ＝ ｂ􀅰ａ(交换律) ③ａ􀅰(ｂ ＋ ｃ) ＝ ａ􀅰ｂ ＋ ａ􀅰ｃ(分配律) 　 　 思考 ２:若 ａꎬｂꎬｃ 为实数ꎬ则(ａ􀅰ｂ)􀅰ｃ ＝ ａ􀅰 (ｂ􀅰ｃ) . 是否可以由此类比得出ꎬ对于向量 ａꎬｂꎬ ｃꎬ满足(ａ􀅰ｂ)􀅰ｃ ＝ ａ􀅰(ｂ􀅰ｃ)? 　 　 做一做:正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长等于 ２ꎬ则ＡＣ→􀅰ＡＤ１ → ＝ 　 　 　 　 　 　 . 知识点 ３ 向量 ａ 的投影 　 　 １. 向量 ａ 与向量 ｂ 的投影 　 　 如图(１)ꎬ在空间ꎬ向量 ａ 向向量 ｂ 投影ꎬ由于 它们是自由向量ꎬ因此可以先将它们平移到同一 个平面 α 内ꎬ进而利用平面上向量的投影ꎬ得到与 向量 ｂ 共线的向量 ｃꎬｃ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬ 向量 ｃ 称为向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影向量. 类似 地ꎬ可以将向量 ａ 向直线 ｌ 投影(如图(２)) . ２. 向量 ａ 在平面 β 上的投影 如图(３)ꎬ向量 ａ 向平面 β 投影ꎬ就是分别由 向量 ａ 的起点 Ａ 和终点 Ｂ 作平面 β 的垂线ꎬ垂足 分别为 Ａ′ꎬＢ′ꎬ得到Ａ′Ｂ′→ꎬ向量Ａ′Ｂ′→称为向量 ａ 在 平面 β 上的投影向量. 这时ꎬ向量 ａꎬＡ′Ｂ′→的夹角就 是向量 ａ 所在直线与平面 β 所成的角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 006 　 　 　 　 　 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) 　 　 (１)向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影向量与向量 ｂ 的方向相同. ( × ) (２)向量 ａ 在直线 ｌ 上的投影向量 ｃ 与向量 ａ － ｃ 垂直. ( √ ) (３)向量 ａ 在平面 β 上的投影向量为 ｃꎬ则向 量 ａ 所在直线与平面 β 所成的角为‹ａꎬｃ› . ( √ ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 求空间向量的数量积 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ (１) 已知向量 ａ 和 ｂ 的夹角为 １２０°ꎬ且 ｜ ａ ｜ ＝ ２ꎬ ｜ ｂ ｜ ＝ ５ꎬ则(２ａ － ｂ)􀅰ａ 等于 ( Ｄ ) Ａ. １２　 　 　 Ｂ. ８ ＋ １３ Ｃ. ４　 　 　 Ｄ. １３ (２)已知长方体 ＡＢＣＤ － Ａ１ Ｂ１ Ｃ１ Ｄ１ 中ꎬＡＢ ＝ ＡＡ１ ＝ ２ꎬＡＤ ＝ ４ꎬＥ 为侧面 ＡＢ１的中心ꎬＦ 为 Ａ１Ｄ１的