1.1.1 空间向量及其线性运算(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

　 　 　 第一章　 空间向量与立体几何 １. １　 空间向量及其运算 １. １. １　 空间向量及其线性运算 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 了解空间向量的概念. ２. 掌握空间向量的线性运算. 学法解读 １. 了解空间向量的概念. (数学抽象) ２. 经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. (逻辑推理) ３. 掌握空间向量线性运算的法则和运算律. (数学运算) ４. 掌握共线向量定理和共面向量定理ꎬ会证明空间三点共线、四点共面. (数学抽象) 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 空间向量的概念 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 定义:在空间ꎬ具有 大小　 和　 方向　 的 量叫做空间向量. ２. 长度或模:向量的　 大小　 . ３. 表示方法: (１)几何表示法:空间向量用 　 有向线段 　 表示ꎻ (２)字母表示法:用字母 ａꎬｂꎬｃꎬ􀆺表示ꎻ若向量 ａ 的起点是 Ａꎬ终点是Ｂꎬ也可记作ＡＢ→ꎬ其模记为 ｜ａ ｜或 ｜ＡＢ→ ｜ . 　 　 ４. 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 　 长度为 ０　 的向量叫做零向量. 记为 ０ 单位 向量 　 模为 １　 的向量叫做单位向量 相反 向量 与向量 ａ 长度　 相等　 而方向　 相反　 的向 量ꎬ叫做 ａ 的相反向量ꎬ记为 － ａ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 001 共线 向量 (平行 向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合ꎬ那么这些向量叫做共 线向量或平行向量. 规定:对于任意向量 ａꎬ 都有 ０∥ａ 相等 向量 方向　 相同 　 且模 　 相等 　 的向量叫做相 等向量 　 　 思考 １:单位向量都相等吗? 　 　 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) 　 　 (１)向量ＡＢ→与向量ＢＡ→的长度相等. ( √ ) 　 　 (２)零向量没有方向. ( 　 ) 知识点 ２ 空间向量的线性运算 空 间 向 量 的 线 性 运 算 加法 ａ ＋ ｂ ＝ ＯＡ→ ＋ ＡＢ→ ＝ ＯＢ→ 减法 ａ － ｂ ＝ ＯＡ→ － ＯＣ→ ＝ ＣＡ→ 数乘 当 λ > ０ 时ꎬ λａ ＝ λ ＯＡ→ ＝ ＰＱ→ꎻ 当 λ < ０ 时ꎬ λａ ＝ λ ＯＡ→ ＝ＭＮ→ꎻ 当 λ ＝ ０ 时ꎬλａ ＝ ０ 运 算 律 交换律:ａ ＋ ｂ ＝ ｂ ＋ ａꎻ 结合律:ａ ＋ (ｂ ＋ ｃ) ＝ (ａ ＋ ｂ) ＋ ｃꎬλ(μａ) ＝ (λμ)ａꎻ 分配律:(λ ＋ μ)ａ ＝ λａ ＋ μａꎬλ(ａ ＋ ｂ) ＝ λａ ＋ λｂ 　 　 思考 ２:怎样作图表示三个向量的和ꎬ作出的 和向量是否与相加的顺序有关? 做一做:已知空间四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬＡＢ→ ＝ ａꎬ ＢＣ→ ＝ ｂꎬＡＤ→ ＝ ｃꎬ则ＣＤ→等于 ( Ｂ ) Ａ. ａ ＋ ｂ － ｃ　 　 Ｂ. ｃ － ａ － ｂ Ｃ. ｃ ＋ ａ － ｂ　 Ｄ. ｃ ＋ ａ ＋ ｂ 知识点 ３ 共线向量 　 　 １. 空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量 ａꎬｂ(ｂ≠０)ꎬａ∥ｂ 的 充要条件是存在实数 λꎬ使得　 ａ ＝ λｂ　 . ２. 直线的方向向量 在直线 ｌ 上取非零向量 ａꎬ我们把　 与向量 ａ 平行的非零向量　 称为直线 ｌ 的方向向量. 思考 ３:对于空间向量 ａꎬｂꎬｃꎬ若 ａ∥ｂ 且 ｂ∥ ｃꎬ是否可以得到 ａ∥ｃ? 思考 ４:怎样利用向量共线证明 ＡꎬＢꎬＣ 三点 共线? 　 　 做一做:判断正误(正确的打“√”ꎬ错误的打 “ × ”) 　 　 (１)若 ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则 ａ∥ｃ. ( × ) (２)若 ａ∥ｂꎬ则存在唯一的实数 λꎬ使得 ａ ＝ λｂ. ( × ) (３)若ＡＢ→ ＝ ＢＣ→ꎬ则 ＡꎬＢꎬＣ 三点共线. ( 　 ) 知识点 ４ 共面向量 　 　 如图ꎬ如果表示向量 ａ 的有 向线段ＯＡ→所在的直线 ＯＡ 与直线 ｌ 平行或重合ꎬ那么称向量 ａ 平 行于直线 ｌ. 如果直线 ＯＡ 平行于 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �