2024年云南省中考数学二轮专题复习 题型五 二次函数性质综合题 课件

题型五　二次函数性质综合题 类型一　函数性质计算 (1)若抛物线与x轴有两个交点，求k的取值范围； 【思维引导】由抛物线的图象与一元二次方程的关系可知，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，所对应的抛物线与x轴有两个交点，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 典例精讲 一题多设问 已知抛物线y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1. 例1 解：(1)令y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5＞0，解得k＜ ； (2)若直线y＝1与抛物线只有一个交点，求k的值； 【思维引导】直线y＝1与抛物线只有一个交点，说明直线y＝1过抛物线的顶点，即抛物线的最小值是1，再根据抛物线的最值公式列方程求解． (2)∵直线y＝1与抛物线只有一个交点，∴直线y＝1过抛物线的顶点．∴y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1的最小值为1.∴ ＝1.解得k＝ ； (3)若抛物线过点P(－2，t)、Q(4，t)，求k的值； 【思维引导】由点P和点Q的纵坐标相同可知两点关于抛物线的对称轴对称，据此可求出抛物线的对称轴，再结合抛物线对称轴的公式列方程即可求解． (3)∵点P(－2，t)、Q(4，t)的纵坐标相同，∴点P(－2，t)与点Q(4，t)关于抛物线的对称轴对称．∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝1.∴ ＝1.解得k＝－ ； (4)若x＜3时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； 【思维引导】抛物线开口向上，当x＜3时，y随x的增大而减小，说明抛物线的对称轴为直线x＝3或在直线x＝3的右侧，据此可列不等式求解． (4)∵抛物线开口向上，当x＜3时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为直线x＝3或在直线x＝3的右侧，∴ ≥3.解得k≤－ ； (5)若点M(－3，m)，N(2，n)在抛物线上，当m＜n时，求k的取值范围； 【思维引导】因为抛物线开口向上，故离抛物线的对称轴越远的点的纵坐标越大，再利用两点的中点横坐标将上述远近关系转换求解． (5)∵抛物线的开口向上，m＜n，∴点M离对称轴的距离比点N离对称轴的距离近．∴ ＜ .解得k＞1； (6)当－1≤x≤1时，y的最大值为2，求k的值． 【思维引导】抛物线开口向上，所以最大值肯定在区间端点处取得，且在离对称轴较远的端点处取得，因为抛物线的对称轴不定，需讨论在哪个端点处取得最大值． (6)当抛物线的对称轴在y轴左侧时， ＜0，解得k＞ .此时当x＝1时，y最大，即1＋2k－1＋k2－1＝2.整理，得k2＋2k－3＝0.解得k＝－3(舍去)或k＝1； 当抛物线的对称轴在y轴右侧时， ＞0，解得k＜ .此时，当x＝－1时，y最大，即1－(2k－1)＋k2－1＝2.整理，得k2－2k－1＝0.解得k＝1＋ (舍去)或k＝1－ .当抛物线的对称轴为y轴时， ＝0，解得k＝ ，此时，当x＝±1时，y最大，最大值为1＋( )2－1＝ ，不合题意．综上所述，k的值是1或1－ . 1. (2023北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a>0)上． (1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴； 针对训练 解：(1)∵m＝3，n＝15， ∴将点(1，3)和点(3，15)分别代入y＝ax2＋bx中，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝ ＝－1； (2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． (2)∵a>0，mn<0，抛物线过(0，0)，∴m<0，n>0，∴抛物线的对称轴 <x< ，∴点(－1，y1)到对称轴的距离 <d1< ， 点(2，y2)到对称轴的距离 <d2< ，点(4，y3)到对称轴的距离 <d3< ，∴d2<d1<d3.∵a>0，∴抛物线上的点距离对称轴越近，y值越小，∴y2<y1<y3. 2. (2023云南逆袭卷)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)． (1)若二次函数图象的对称轴为直线x＝1，且图象经过点(－1，4)，求二次函数的解析式； 解：(1)∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，∴－