专题十一 二次函数综合题-2024年湖北省中考数学专项模拟大小卷

- 难点题型进阶练!!!得满分 专题十一 ! 二次函数综合题 类型一 ! 二次函数与线段问题 考向 " ! 线段数量关系 "! 如图!在平面直角坐标系中!已知抛物线 . /+" ) .,". & ) 与 " 轴交于 % # & ! % $! & # (" ! % $两点!与 . 轴交于点 '! # " $求抛物线的解析式- # ) $若点 ) 是抛物线的顶点!连接 %) ! ') !求 ) %') 的面积- # ' $若点 7 是抛物线上的一动点!过点 7 作 70 垂直 . 轴于点 0 !交直线 %' 于点 ( !过点 ( 作 " 轴的垂线!垂足为点 1 !连接 01 !当线段 01 的长度 最短时!求出点 7 的坐标 ! 解!" & #令 !*) $则 3 * 9 ' $即 %) $ 9 # $ ' $设抛物线的表达式为 3 *" " !%! & #" !%! ' # *" " !%9 #" !-& #$ 将点 % 的坐标代入上式得!9 ' *" " )%9 #" )-& #$解得 "*% & ' $ 故抛物线的表达式为 3 *% & ' " !%9 #" !-& # *% & ' ! ' -'!- 9 ' & " ' #由抛物线的表达式得顶点 , " ' $ . ' #$过点 , 作 ,= * 3 轴交 $% 于点 = $ 设直线 $% 的表达式为 3 *+!-9 $则 9* 9 ' )*9+- , - . 9 $解得 +*% & ' 9* 9 , - . ' $ 故直线 $% 的表达式为 3 *% & ' !- 9 ' $当 !*' 时$ 3 * ( ' $则 ,=* . ' % ( ' *( $ 则 ) $,% 的面积 *4 ) ,=% -4 ) ,=$ * & ' /,=//$* & ' /(/9* &9 ' & " ( #点 & 在直线 $% 上$设点 & . $ % & ' .- 9 # $ ' $由题意得$四边形 /'&) 为矩形$故 ')*/& $即当 线段 ') 的长度最短时$只需要 /& 最短即可$ 则 ') ' */& ' *. ' - % & ' .- 9 # $ ' ' * 9 8 . ' % 9 ' .- '9 8 $ : 9 8 & ) $故 ') '存在最小值"即 ') 最小#$此时 .*& $故点 & " & $ ' #$ : 点 7 ) & 的纵坐标相同$故 '*% & ' ! ' -'!- 9 ' $解得 !*'D槡9$ 故点 7 的坐标为" '-槡9$'#或"'%槡9$'## % )0 % 考向 ) ! 利用二次函数性质求线段最值 )! 如图!二次函数 . /+" ) .,".- 的图象过 5 # % ! % $( % # " ! % $( # & ' ) ! 槡' $ ) 三点 ! # " $求二次函数的解析式- # ) $若线段 5& 的垂直平分线与 . 轴交于点 ' !与二次函数的图象在 " 轴上方的部分相交于点 ( ! 求直线 '( 的解析式- # ' $在直线 '( 下方的二次函数的图象上有一动点 7 !过点 7 作 7A $ " 轴!交直线 '( 于点 A !当 线段 7A 的长最大时!求点 7 的坐标 ! 解!" & #将点 / ) $ ) ( 的坐标代入抛物线表达式$ 得 >*) "-0->*) 槡( ' * . 8 "- ( ' 0- , - . > $解得 "* '槡( ( 0*% '槡( ( > , - . *) $故二次函数的解析式为! 3 * '槡( ( ! ' % '槡( ( ! & " ' #由点 ( 的坐标知$直线 (/ 的倾斜角为 ()6 $ :(/ $ $& $则 " (/$- " (/%*.)6 $ " (/%- " /%$*.)6 $ 0 " /%$* " (/$*()6 $则 %& 与 ! 轴负半轴的夹角为 ,)6 $故设 %& 的表达式为! 3 *%槡(!-0$而/( #中点的坐标为 ( 8 $ 槡( $ 8 $将该点坐标代入 %& 表达式并解得! 0*槡($故直线%& 的表达式为! 3 *%槡(!-槡(& " ( #设点 # 7! $ '槡( ( ! ' % '槡( ( $ ! $则点 A " ! $ %槡(!-槡(#$则7A*%槡(!-槡( #% '槡( ( ! ' % '槡( ( $ ! * % '槡( ( ! ' % 槡( ( !-槡($:% '槡( ( # ) $ 0 当 !*% & 8 时$ 7A 有最大值$此时点 7 # 的坐标为 % & 8 $ 9槡( $ '8 # '! 如图!抛物线 . /+" ) .,".- # + % % $与 . 轴交于点 ' # % ! $ $!与 " 轴交于点 % # () ! % $!点