18.2.1.2矩形的判定（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第18章 平行四边形 八年级数学下册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 八年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 18.2.1.2 矩形的判定 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 工人师傅在安装门窗时，仅用卷尺就能解决问题， 这是为什么呢？ 思考： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B C D BY YUSHEN BY YUSHEN 矩形的判定定理1 新知探究 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 辨析： 对角线相等的四边形是矩形吗？ 等腰梯形 对角线相等的四边形不一定是矩形. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D BY YUSHEN BY YUSHEN 矩形的判定定理2 新知探究 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图，在 □ ABCD 中，它的两条对角线相交于点 O. （1）如果 □ ABCD是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？ （2）如果△OBC 是等腰三角形，其中 OB = OC，那么□ ABCD 是矩形吗？ ∴ AC 与 DB 相等且互相平分. ∴ △OBC 是等腰三角形. 解 （1） ∵□ABCD是矩形， （2） ∵ △OBC 是等腰三角形，其中OB = OC， ∴ AC = 2OC = 2OB = BD. ∴ □ ABCD 是矩形. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解：∵ AB = 2，AO = 0.5AC = 2，∠AOB = 60°， ∴△AOB为等边三角形. ∴ BO =2 ，BD = 2BO = 4 . ∴AC = BD. ∴□ ABCD 是矩形. 在 Rt △ABC 中，BC = ∴□ ABCD 的面积为 . 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， ∠AOB = 60°，AB = 2，AC = 4，求 □ ABCD 的面积. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 □ABCD中，AE、CF、BF、DE分别为四个内角平分线， 求证：EGFH是矩形。 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵AE、BF分别是内角的平分线， ∴∠BAG=∠DAG=∠BAD，∠ABG=∠CBE=∠ABC， ∴∠BAG+∠ABG=（∠BAD+∠ABC）=90°， 同理：∠E=∠F=90°， ∴∠EGF=90°，∴四边形EGFH是矩形。 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，AE平分∠BAD交BC于E．若AB=2，AE=2，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由 解：四边形ABCD是矩形；理由如下： ∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°， ∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=2， ∵AB2+BE2=22+22=8=（2 ）2=AE2，∴△ABE是直角三角形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，在△AEC、△BED中，∠AEC=∠BED=90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形． 解：连接EO， ∵O是AC、BD的中点，∴AO=CO，BO=DO， 在Rt△EBD中， ∵O为B