考点练15　立体几何——2024届高三数学一轮复习

考点练15　立体几何 考点一：翻折问题　 1．将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是(　　) A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 2.(多选)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝2CD＝3，AB⊥AD，E在线段BC上，且BE＝2EC，现沿线段AE将△ABE折起，折成二面角B ­AE­D，在此过程中(　　) A．AE⊥BD B．三棱锥B ­AED体积的最大值为6 C．若G，F是线段AE上的两个点，GE＝1，AF＝，则在线段AB上存在点H，当AH＝1时，HF∥BG D．AD⊥BD 3.[2023·山西临汾模拟]如图，四边形ABCD中，AC＝BC＝CD＝AD＝2，且AC⊥BC，将其沿AC折叠成四面体ABCD，使得二面角D ­AC­B的大小为30°，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积是________． 4．[2023·河北石家庄模拟]如图，在梯形ABCD中，∠BAD为直角，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，将三角形ABD沿BD折起至PBD. (1)若平面PBD⊥平面BCD，求证：PB⊥PC； (2)设E是PC的中点，若二面角E­BD­C为30°，求二面角P­BD­C的大小． 考点二：探究问题 1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝AD＝PA＝2CD＝4，G为PD的中点． (1)求证AG⊥平面PCD； (2)若点F为PB的中点，线段PC上是否存在一点H，使得平面GHF⊥平面PCD？若存在，请确定H的位置；若不存在，请说明理由． 2．[2023·安徽合肥模拟]在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，PA＝PD＝，点P在底面ABCD的射影为点O，且PO＝2，点M是BC的中点． (1)求证：AD⊥PM； (2)在线段OM上，是否存在点N，使二面角A­PB­N的余弦值为？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由． 考点三：立体几何与数学文化　 1．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡(　　)平方米． A．36π B．40π C．46π D．50π 2.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如图).在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的(沙堆的底面是水平的).已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是(　　) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 3．[2022·全国甲卷] 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A． B． C． D． 4．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为(　　) A． 立方丈 B． 立方丈 C． 立方丈 D． 立方丈 5．(多选)“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6 cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为 cm，高为6 cm(不含外壳)的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6 cm的半球的体积，则(参考数据：π≈4.44)(　　) A．这两碗馅料最多可包三角粽35个 B．这两碗馅料最多可包三角粽36个 C．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个 D．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个 6. [2023·河北邢台模拟]中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工．“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹．据《格古要论》记载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展