专题02 计数原理（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

苏教版（2019)必修第二册期中考点大串讲 串讲02 第七章 计数原理 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 4 要点一　排列与组合的应用 在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步. 解决排列组合应用题的常用方法： (1)合理分类，准确分步； (2)特殊优先，一般在后； (3)先取后排，间接排除； (4)相邻捆绑，间隔插空； (5)抽象问题，构造模型； (6)均分除序，定序除序. 例1 6个女学生(其中有1个领唱)和2个男学生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男学生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 解　(1)要完成这件事分三步： 训练1 某局安排3位副局长带5名职员去3地调研， 每地至少去1名副局长和1名职员，则不同的安排方法种数为________. 900 解析　分三步： 要点二　二项式定理的应用 对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题. C A.－1 B.0 C.1 D.2 (3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况. 要点三　分类讨论思想 当计数问题过于复杂或限制条件较多时，一般采取分类讨论的方法解决，即对计数问题中的各种情况进行分类，然后针对每一类分别研究和求解. 分类的原则是不重复、不遗漏. 例3 从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为(　　) A.236 B.328 C.462 D.2 640 A 解析　以取出的编号为奇数的球的个数进行分类. 训练3 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　) A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 B 要点四　正难则反思想 正难则反即是一种手段，又是一种策略.有许多计数问题，应用正难则反思想求解，常能事半功倍.在解题时，当正向思维受阻时，不妨改变思维方向，从结论或条件的反面进行思考，从而使问题得到解决. 例4 对于各数不相等的正整数组(i1，i2，…，in)(n是不小于2的正整数)，如果在p>q时有ip>iq，则称ip和iq是该数组的一个“好序”，一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”，例如，数组(1，3，4，2)中有好序“1，3”“1，4”“1，2”“3，4”，其“好序数”等于4.若各数互不相等的正整数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7)的“好序数”等于3，则(a7，a6，a5，a4，a3，a2，a1)的“好序数”等于________. 18 训练4 若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. 11 02 典例剖析 一、两个计数原理 　　有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景， 考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等. 求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解. 一、两个计数原理 （一）“多面手”问题 例1　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 一、两个计数原理 解　由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语. 方法一　分两类. 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法. 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法. 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法. 一、两个计数原理 方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语. 第一类：甲入选. (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 一、