专题01 空间向量与立体几何（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

苏教版（2019)选择性必修第二册期中考点大串讲 串讲01 空间向量与立体几何 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 01考点透视 第6章 空间向量与立体几何 考点1 空间向量的有关概念 1.定义:在空间,把具有①　大小    和②　方向    的量叫做空间向量. 2.长度(模):空间向量的③　大小    叫做空间向量的长度或模. 3.表示法 (1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示; (2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模. 若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作④         ,其模记为|a|或⑤　| |    . 考点2 空间向量的线性运算 运算 法则(或几何意义) 图形表示 运算律 加法a+b 三角形法则: a+b= + = ; 平行四边形法则: a+b= + =    (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律: a+(b+c)=(a+b)+c, λ(μa)=λμa; (3)分配律: (λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R) 减法a-b a-b= - =  数乘λa(a≠0) 大小:|λa|=⑥ 　|λ||a|    . 方向:当λ>0时,λa的方向与a的方向⑦ 相同 ; 当λ<0时,λa的方向与a的方向⑧ 　相反    ; 当λ=0时,λa=0   考点3 共线向量定理 　　对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使⑨    a=λb    . 1.共面向量:平行于同一个⑩　平面    的向量,叫做共面向量. 2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x,y),使     p=xa+yb    . 考点4 共面向量定理 练习1 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同. (　√　) 2.空间中两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致. (　√　) 3.空间向量的数乘中,λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. (    ✕　) 提示:设b=λa(a≠0),λ>0时,b与a方向相同,λ<0时,b与a方向相反. 4.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. (    ✕　) 提示:若b=0,a≠0,则不存在实数λ,使a=λb. 5.空间中任意两个单位向量必相等. (    ✕　) 提示:任意两个单位向量模相等,方向不一定相同. 6.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p. (　√　) 考点5 空间向量的有关概念 1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相 对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来 解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 考点6 空间向量的线性运算 利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的 方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识,巧妙运用以下性质: ①若点D为△ABC边BC的中点,则 = ( + ); ②若D为△ABC边BC上一点,且BD∶DC=λ∶μ,则 =  +  . 考点7 空间两个向量的夹角 1.如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则① 　∠AOB    叫做向量a,b的夹角,记作②　〈a,b〉    .   2.两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉的范围是③ 　[0,π]     ;若〈a,b〉=0,则向量a,b方向④相同;若〈a,b〉=π,则向量a,b方向⑤ 　相反    ;若〈a,b〉= ,则向量a,b⑥　互相垂直    . 考点8 空间向量的数量积 1.定义 已知两个非零向量a,b,则⑦　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作⑧    a·b    . 即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定:零向量与任意向量的数量积为⑨　0    . 2.运算律 (1)(λa)·b=⑩     λ(a