11.3正弦定理与余弦定理的应用（备课件）-2023-2024学年高一数学同步教学系列（苏教版2019必修第二册）

11.3 正弦定理余弦定理的应用 学习目标 1．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2．与角度相关的方向角、方位角、仰角俯角、坡度坡角的应用； 3. 与边长相关的距离、高度、速度与时间的应用. 1 情景引入 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明 月高悬，我们仰望星空会有无限遐想，不禁 会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？ 其实，早在1671年，两个法国科学家就测出了地球与月球之间的距离大约为 . 为检测云龙湖水质，要在A，B两处设置滤网，某人在通道上选点C，测得CA=3百米，CB=2百米， ，求滤网AB的长. A B C 3 2 60° 2 Administrator (A) - 情景引入 某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离? .C .B .A 1 60° 45° 3 Administrator (A) - 情景引入 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明 月高悬，我们仰望星空会有无限遐想，不禁 会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？ 其实，早在1671年，两个法国科学家就测出了地球与月球之间的距离大约为 . 4 Administrator (A) - 情景引入 从天文测量到精密仪器的制造,从治水到索道的修建，再到河两岸的土地丈量，··· ···人们都离不开对几何图形的测量、设计、和计算. 而几何图形的计算很多都是通过解三角形来完成的. 正弦定理，余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，因此在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着非常广泛的应用. A B C 3 2 60° 5 Administrator (A) - 数学应用 题型一：边(距离问题)、角(仰角俯角) 6 Administrator (A) - 数学建构 方法归纳： (1)画示意图，弄清题目条件． 根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的． (2)选准入手点． 找出已知边长的三角形,结合已知条件选准“可解三角形”,并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理来求解． 7 Administrator (A) - 概念形成 1、仰角和俯角 以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做俯角; 视线在水平线下方所成的角叫做仰角. 2、方向角 指北或指南的方向线与目标方向线所成的水平角(一般指锐角)叫做方向角． 目标方向线的方向一般用某偏某多少度来表示. 前一个“某”是“北”或“南”，后一个“某”是“东”或“西”． 左图： OA的方向角 , 方位角 . OB的方向角 , 方位角 . OC的方向角 , 方位角 . OD的方向角 , 方位角 . 3、方位角 指北的方向线顺时针转到目标方向线为止的水平角,叫方位角． 北偏东60° 北偏西75° 南偏西15° 南偏东40° 60° 285° 195° 140° 8 Administrator (A) - 概念形成 4、坡角、坡度 水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离． 坡角 9 Administrator (A) - 数学应用 例2：在平地上有A，B两点，A点在山CD的正东，B点在山的东南，而且B点在A点的南偏西30°的300米的地方,在A点测得山顶C的仰角是30°，求山高． 解：如图所示，山高为CD，AB＝300.由题意知∠ADB＝45°，∠DAC＝30°,∠DAB＝60°， ∴∠ABD＝180°－(45°＋60°)＝75°. 题型二：边(高度) 、角(方向角) 10 Administrator (A) - 数学建构 11 Administrator (A) - 数学应用 例3.科考队从C点出发登陆A岛完成科考任务后原路返回至E处时，突然接收到附近某渔船发出的求救信号.科考队立即测得该渔船正在方位角315o，距离E处10海里的G处，并测得该渔船正以方位角255o的方向，以10海里/h的速度前行，科考船立即以海里/h的速度前去营救，求科考船的航向和靠近渔船所需的时间. 北 F G E 北 题型三：边(速度)、角(方位角) 答：科考船应以285o方位角的方向航行， 靠近渔船需1小时。