18.1 （2）平行四边形的判定（九大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）八年级下册数学《第十八章 平行四边形》 18.1 （2） 平行四边形的判定 知识点一 平行四边形的判定 ★1、平行四边形的判定方法 类别 判定方法 图形 几何语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ★2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法. ★3、平行四边形的联系与区别 区别 ：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定. 联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系. 知识点二 三角形的中位线 ★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ★2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． ★3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段. ★4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半. ★5、三角形的中线与中位线 相同点：都是与中点有关的线段. 不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 题型一 利用定义进行平行四边形的判定 【例题1】如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D 解题技巧提炼 当已知条件中涉及或易得出四边形的对边分别平行时，应考虑使用平行四边形的定义这种判定方法. 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（　　） A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180° 【变式1-2】（2023秋•招远市期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　　． 【变式1-4】（2023•宁夏）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 【变式1-5】（2023•交城县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，分别连接CE，AF交对角线BD于点G，H，连接EH，FG． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）求证：四边形EHFG是平行四边形． 题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定 【例题2】（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 解题技巧提炼 已知一组对边平行，可通过证明这组对边相等来证明平行四边形，“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”不同，前者指的是同一组对边，后者指的不是同一组对边，不能用来判定平行四边形. 【变式2-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD 【变式2-2】（2023春•禹州市期中）依据所标数据，一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022•海淀区校级开学）如图