辽宁省2023-2024学年高三上学期数学期末试题汇编：数列

辽宁省2023--2024学年上学期高三数学期末试题汇编：数列 一、单选题 1．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，该方案将从正式实施开始每年延长几个月的退休时间，直到达到法定退休年龄.男性延迟退休的年龄情况如表所示： 出生年份 1961年 1962年 1963年 1964年 1965年 1966年 退休年龄 60岁 60岁+2月 60岁+4月 60岁+6月 60岁+8月 60岁+10月 若退休年龄与出生年份满足一个等差数列，则1981年出生的员工退休年龄为（    ） A．63岁 B．62岁+10月 C．63岁+2月 D．63岁+4月 2．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知为等比数列，且，则（    ） A．216 B．108 C．72 D．36 二、多选题 3．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知，均是由自然数构成的数列，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为 . 5．（23-24高三上·辽宁大连·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . （参考数据：） 四、解答题 6．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知数列满足：.设. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前项和. 7．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）在正项等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明：. 8．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前29项和. 9．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）记正项数列的前n项和为，，． ①；②；③．从以上三个条件中选择一个解决下面问题． (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和． 10．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）记数列的前项和为，数列的前项和为. 已知，. (1)求的通项公式； (2)求证：. 参考答案： 1．D 【分析】构造等差数列，解决该问题. 【详解】因为退休年龄与出生年份满足一个等差数列，由题意可知： ，，所以. 故选：D 2．A 【分析】 根据等比数列通项公式列式计算即可求. 【详解】 设等比数列的公比为， 由题意， 所以. 故选：A 3．ACD 【分析】由题意，判断出的取值范围，进而得出数列的通项公式，依次判断选项. 【详解】由，得， 又，故， 得，即， 记表示不大于的最大整数， 因为，所以，故，则，A正确； 若，则，， 故，所以，即，B不正确. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 故，C正确. ， 则，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于判断出的取值范围，求得数列的通项公式. 4．458 【分析】由已知求出数列的通项与前项和，数列的前30项的和为，求值即可. 【详解】数列是首项为25，公差为的等差数列， 则有，数列的前项和， 若，则且， 数列的前30项的和 . 故答案为：458 5．5 【分析】根据题意求出第次操作后去掉的各区间长度之和，列不等式结合所给参考数据即可得. 【详解】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为， 第次操作，去掉的线段长度为， ，则， 由的最大值为5. 故答案为：5 6．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）结合题意构造出，可得数列为等比数列，即可得的通项公式； （2）由的通项公式得到，结合已知得到，即可得数列的前项和. 【详解】（1）由题意可知：， ， 故， 得， 故是以为首项，为公比的等比数列， 且，故； （2）由（1）知，，即， 由题意知：，故， 故数列的前项和 . 7．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量运算得解； （2）由（1），再根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设的公差为d，则， 解得或（舍去）， 故. （2）证明：由（1）可知， 则. 8．(1) (2) 【分析】（1）构造数列化简原式，再根据的关系