第六章 平面向量及其应用单元测试二-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用单元测试二 (时间:45分钟 分值:100分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知i,j分别是与x轴正方向、y轴正方向同向的单位向量,O为坐标原点,设=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则点A位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a与b的关系是 ( ) A.不共线 B.相等 C.方向相同 D.方向相反 3.已知向量a=(sin ,2),b=(1,-cos ),若a⊥b,则tan = ( ) A. B.-2 C.- D.2 4.在如图所示的网格中,每一个小正方形的边长均为1,则(+) = ( ) A.0 B.1 C.-2 D.-1 5.已知平面向量a=(2,0),b=(1,),向量a-b与a-kb的夹角为,则k= ( ) A.2或 B.3或 C.2或0 D.3或 6.在 ABC中,G为 ABC的重心,M,N分别为线段AB,AC上的动点,且M,N,G三点共线,若= ,= ,则 +4 的最小值为 ( ) A. B.3 C.2 D. 7.(多选题)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,则以下a,b可作为该平面内一个基底的是 ( ) A.a=e1+e2,b=e1 B.a=2e1+e2,b=e1+e2 C.a=-e1+e2,b=e1-e2 D.a=e1-2e2,b=-e1+4e2 8.(多选题)石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形,正六边形ABCDEF为其中的一个六元环,设AB=1,P为正六边形ABCDEF内一点(包括边界),则下列说法正确的是 ( ) A.=4+4 B. =3 C.在上的投影向量为 D. 的取值范围为 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 9.已知向量m=(1,2),写出一个与向量m方向相反的向量n的坐标为 . 10.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN上靠近点M的三等分点,则点P的坐标为 . 11. 定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度为|a*b|=|a| |b| sin ,其中 为向量a和b的夹角.若a=(2,0),b=(1,),则|a*(a+b)|= . 12.已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=,A为锐角,且sin A=,点P0是边CD上一定点,点P是边CD上一动点,若 ≥ 恒成立,则||= . 三、解答题(本大题共3小题,共40分) 13.(10分)如图所示,在 ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB. (1)试用向量a,b来表示,; (2)若=,求证:D,O,N三点共线. 14.(15分)在平面直角坐标系中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥. (1)求x与y满足的关系式; (2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积. 15.(15分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),点C在x轴及x轴上方,||=1,且∠AOC= ,其中O为坐标原点. (1)若 =,设点D为线段OA(包括端点)上的动点,求|+|的最小值; (2)若 ∈,向量m=,n=(1-cos ,sin -2cos ),求m n的最小值及对应的 值. 答案 1.D [解析] 由题意得A(x2+x+1,-x2+x-1),∵x2+x+1>0,-x2+x-1<0,∴点A位于第四象限,故选D. 2.D [解析] 因为a=(-2,4),b=(1,-2),所以a=-2b,所以a与b方向相反.故选D. 3.D [解析] 向量a=(sin ,2),b=(1,-cos ),a⊥b,则a b=sin -2cos =0,故tan ===2.故选D. 4.D [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,则=(1,0),=(2,1),=(-1,2),所以+=(3,1),所以(+) =3 (-1)+1 2=-1.故选D. 5.A [解析] 因为a=(2,0),b=(1,),所以a-b=(1,-),a-kb=(2-k,-k),所以|a-b|=2,|a-kb|=2,(a-b) (a-kb)=2-k+3k=2+2k,又向量a-b与a-kb的夹角为,所以cos<a-b,a-kb>===,所以2k2-5k+2=0,所以k=2或k=,故选A. 6.B [解析] 由题意,在 ABC中,G为 ABC的重心,且= ,= ,0< ≤1,0< ≤1,设D为BC的中点,连接AD,则== (+)=(+)=,因为M,N,G三点共线,所以+=1,故 +4 =( +4 )=++≥+2=3,当且仅当=,+=1,即 =1, =时等号成立,故 +4 的最小值为3,故选B. 7.ABD [解析] 因为e1,e2是平面内两个不共线的向量,对于A,设a= b,即e1+e2=