广东省东莞市东华高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

2022～2023学年广东东莞市东城街道东华高级中学高二下学期期中数学试卷 一、选择题 1. 若直线经过坐标原点和，则它的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 或 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（ ） A. 28 B. 21 C. 15 D. 10 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 在正四面体中，棱长为1，且D为棱中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知由样本数据组成一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 去除两个歧义点后的回归直线方程为 C. 去除两个歧义点后，样本（4，8.9）的残差为 D. 去除两个歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小 11. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第个图中图形的边数为，第个图中图形的周长为，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 12. 已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 若，则的最小值为 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，直线与直线所成角的余弦值的最大值为 三、填空题 13. 二项式展开式中常数项是________．（填数字） 14. 甲、乙、丙、丁四名专家分别前往A，B，C三所中学开展科学知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，每个专家只能去一所学校，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有______种.（填数字） 15. 已知圆C：和点M，O为坐标原点，若圆C上存在点P满足，则r的最大值为___________． 16. 已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为________． 四、解答题 17. 已知函数，，在处的切线与直线平行. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 18. 将等差数列排成如图所示的三角形数阵：已知第三行所有数的和为6，第6行第一个数为 （1）求数列的通项公式； （2）设为数阵中第行的第一个数，求. 19. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形， （1）证明： （2）若，，，求平面与平面夹角余弦值. 20. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 21. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程． （2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形． 22. 已知函数． （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，且，当时，证明：． 2022～2023学年广东东莞市东城街道东华高级中学高二下学期期中数学试卷 一、选择题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题 【9题答案】 【