专题3.1 数据分析初步（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.1 数据分析初步（全章知识梳理与考点分类讲解） 【要点一】平均数 有n个数x1、x2、x3 ...... xn，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做（读作“x拔”） 像这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a1、a2......an表示各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。 【要点二】中位数和众数 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。 平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限。如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息。 【要点三】方差和标准差 在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。 各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润（销售）问题、形积问题等. 【考点目录】 【考点1】平均数与加权平均数； 【考点2】中位数与众数； 【考点3】方差与标准差； 【考点一】平均数与加权平均数； 【例1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）某中学开展为山区儿童捐书的活动，为了解捐书情况，小青调查了部分同学的捐书情况并制成如图所示的统计图，根据图中的信息回答问题． （1）小青一共调查了 名同学． （2）调查的这些同学平均每人捐了 册图书． （3）若该校有名学生，则全校大约捐了 册图书． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查条形统计图以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据条形统计图数据列式计算可得答案； （2）利用加权平均数计算公式求解即可； （3）用总人数乘（2）的结论即可． （1）解：小青一共调查的同学： （名）． （2）解：调查的这些同学平均每人捐的图书： （册）． （3）解：若该校有名学生，则全校大约捐了图书： （册）． 【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育活动占20%，期中成绩占40%，期末成绩占40%．若小明的三项成绩（百分制）依次是95，90，90．则小强这学期的体育成绩是（    ） A．92 B．91.5 C．91 D．90 【答案】C 【分析】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 解：根据题意得： （分）． 即小彤这学期的体育成绩为91分．故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·全国·随堂练习）在某次射击训练中，一小组的成绩如下表： 环数 7 8 9 人数 4 3 已知该小组的平均成绩为8环，那么成绩为7环的人数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平均数的定义、一元一次方程的应用，理解平均数的定义是解题的关键． 设成绩为7环的人数是x，再根据平均数的定义列一元一次方程求解即可． 解：设成绩为7环的人数是x． 根据题意可得：，解得． 所以成绩为7环的人数是3． 故答案为3． 【考点二】中位数与众数 【例2】（2023年山东省青岛市高新区中考数学二模模拟试题）学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了40名学生，进行了相关测试（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下： 信息①：40名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）； 信息②：所抽取的40名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表： 年级 七 八 九 相应人数 10 16 14 平均数 信息③：测试成绩在这一组的是：70，72，72，73，74，76，76，78，79． 根据以上信息回答下列问题： （1）抽取的40名学生测试成绩的中位数为 ； （2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级496名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； （3）求被抽取40名学生的平均测试成绩． 【答案】（1）72；（2）124人；（3）分 【分析】 本题考查了平均数、频数发布直方图以及中位数的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数． （1）根据中位数的定义直接求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）利