第9章平面向量（考点串讲）（含解析）-2023-2024学年高一数学苏教版（2019) 必修第二册

苏教版(2019)必修第二册第9章平面向量 1、 本章考点梳理 考点1　向量的相关概念 【例题1】（2022高一·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 ＝ B．若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C．若∥，且∥，则∥ D．与是两平行向量 【答案】D 【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可. 【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边形； 选项C中当时，、为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量. 故选：D. 【例题2】(多选题)下列说法正确的有(　　) A.单位向量的长度大于零向量的长度 B.零向量与任一单位向量平行 C.向量和向量长度相等 D.向量就是有向线段 答案　ABC 解析　单位向量的长度为1，零向量的长度为零，故A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量与是方向相反、模相等的两个向量，故C正确；向量可用有向线段来表示，不能把两者等同起来，D不正确. 思维升华　对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的考点定义的，与方向无关.零向量的模为零，方向则是任意的. 考点2　共线向量与相等向量 【例题3】（2023高一·全国·专题练习）已知平面上三点的坐标分别为求点的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点． 【答案】或或 【分析】分平行四边形为，，三种情况考虑，设出点坐标，写出相等向量，计算即可. 【详解】解：设点，当平行四边形为时，有, 因为， 所以，解得，即； 当平行四边形为时，有, 因为， 所以，解得，即； 当平行四边形为时，有, 因为， 所以，解得，即， 【例题4】（1）故点的坐标为或或.(1)已知a，b，c为非零向量，且a与b不共线，若c∥a，则c与b必定________． (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的向量中． ①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ ②与a共线的向量有哪些？ 【解】　(1)因为a与b不共线，c∥a，所以c与b不共线．故填不共线． (2)①与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. ②与a共线的向量有，，，，，，，，. 相等向量与共线向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c. 考点3　相等向量与共线向量 【例题5】下列命题中正确的个数是 （    ） （1）若为单位向量，且，则； （2）若且，则； （3）； （4）若平面内有四点A、B、C、D，则必有. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量大小与方向确定命题(1)(2)(3)真假.根据向量加法判断（4）真假. 【详解】若为单位向量，且，则；(1)错， 若，则但不一定成立；（2）错， 因为，所以（3）错， 因为,所以（4）对， 选B. 【点睛】向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度． (2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等． 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. 【例题6】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出分别与a，b，c相等的向量. 解　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. (2)与a共线的向量有，，，，，，，，. (3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. 考点4　向量的表示及应用 【例题7】　在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务. (1)作出，，； (2)求||. 解　(1)如图所示，作出，，. (2)由题意知AB∥CD，AB＝CD， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以AD＝BC＝400 km，所以||＝400 km. 平面向量在实际生活中的应用 生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解. 注意2个易错点——零向量和单位