7.2 复数的四则运算（讲义，4考点+8题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

7.2 复数的四则运算 知识点一 复数加法与减法的运算法则 设是任意两个复数，则 复数加减法的运算法则 ①② 复数加法的运算律 对任意，有①（交换律） ②（结合律） 微点拨： ①复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并． ②复数的加、减运算结果仍是复数. ③对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算． ④实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 知识点二 复数加减法的几何意义 1、如图，设复数对应向量分别为，四边形为平行四边形，向量与复数对应，向量与复数对应． 2、复平面内的两点之间的距离是． 微点拨：复数模的三角不等式：若是复数，则． 知识点三 复数的乘法运算 设是任意两个复数，则 复数乘法的运算法则 复数乘法的运算律 对任意，有①；②；③ 微点拨：. 知识点四 复数的除法运算 设，则 复数除法的运算法则 复数除法的运算实质 复数的除法的实质是分母实数化． 即分子、分母同乘分母的共轭复数 微点拨： ①根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似． ②设都是复数，则. 知识点五 复数范围内实系数一元二次方程的解法 在复数范围内，任何实系数一元二次方程都是有根的 1、求根公式法： 当时，方程有两个不相等的实根； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有一对共轭虚根. 2、利用复数相等的定义求解： 设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解； 3、若复系数方程有实数根，通常将这个根设出，代入方程，利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解． 微点拨： ①实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数是该方程的另一根. ②根与系数的关系在虚根的情况下仍然成立. 考点一 复数的四则运算 易错提醒 (1)在复数的运算中忽视造成运算失误． (2)复数运算的最终结果未写成的形式． 题型一 复数代数形式的加、减运算 复数加减运算的方法技巧 (1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行． (2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错． 1．（2023-全国-高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（2022-河南-校联考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021下-安徽蚌埠-高二校考阶段练习）已知，，为实数，若，求 题型二 复数代数形式的乘法运算 1、两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 2、常用公式 （1） （2） （3） 1．（2023-全国-高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2023-全国-高一专题练习）计算下列各题． (1)； (2). 题型三 复数代数形式的除法运算 复数代数形式的除法运算的步骤和常用公式 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式 ①；②；③． 1．（2023-全国-高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2023-全国-高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 的周期性及应用 提分笔记 (1)熟记的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为． (2)对于，有． 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023-全国-高一随堂练习）计算（其中）： (1)； (2)． 3．（2023-全国-高一专题练习）计算： (1)； (2)． (3)i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021. 考点二 复数代数形式加、减运算的几何意义 提分笔记 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 1．（2023-高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 2．（2020-高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4