7.3 复数的三角表示题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义 7.3* 复数的三角表示4题型分类 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作. 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 三、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，. 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等. 四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义. 五、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义. （一） 复数的代数式与三角式互化 复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连. 题型1：复数的代数式与三角式互化 1-1．（2024高一·全国·课时练习）如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为 ．    1-2．（2024高一·全国·课后作业）下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）. A． B． C． D． 1-3．（2024高一·全国·课后作业）以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．； B．； C．； D．． （二） 复数的辅角主值 因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的. 题型2：求复数的辅角主值 2-1．（2024高一·全国·课时练习）把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值. 2-2．（2024·全国）求满足方程的辐角主值最小的复数z． 2-3．（2024高一下·广东广州·期中）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高一下·重庆·阶段练习）复数的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 2-5．（2024·全国）设函数，那么是（    ） A． B． C． D． （三） 三角形式下复数的乘、除运算 1.复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2.复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 题型3：三角形式下复数的乘、除运算 3-1．（2024高一·湖南·课时练习）计算： (1)； (2)． 3-2．（2024高一·全国·课后作业）在复平面内，把与复数a+bi(a，b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为（    ） A．a-bi B．-a+bi C．b-ai D．-b+ai 3-3．（2024高一·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高一·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C． D． （四） 复数乘、除运算的几何意义 1.复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义. 2.两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义. 题型4：复数乘、除运算的几何意义 4-1．（202